La función $f(x)$ está definida por partes. Analizaremos su continuidad en cada intervalo y en el punto de unión.1. Para $x \in [0, 2)$: La función es $f(x) = \frac{x^2}{3}$, que es una función polinómica y, por lo tanto, continua en este intervalo.2. Para $x \in (2, \infty)$: La función es $f(x) = \frac{4}{x+1}$, que es una función racional. El denominador $x+1$ nunca es cero para $x > 2$. Por lo tanto, es continua en este intervalo.3. En el punto de unión $x=2$: Debemos comprobar que el valor de la función y los límites laterales coinciden.

Como $f(2) = \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = \frac{4}{3}$, la función es continua en $x=2$.Conclusión: La función $f(x)$ es continua en todo su dominio, es decir, para $x \in [0, \infty)$.

Calculamos la derivada de la función en cada intervalo abierto:

Ahora, estudiamos la derivabilidad en el punto de unión $x=2$ comparando las derivadas laterales:

Como $f'_{-}(2) \ne f'_{+}(2)$, la función no es derivable en $x=2$.Conclusión: La función $f(x)$ es derivable en $x \in (0, 2) \cup (2, \infty)$.

Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, analizamos el signo de la primera derivada $f'(x)$.

1. Para $x \in (0, 2)$: $f'(x) = \frac{2x}{3}$. Si $x > 0$, entonces $f'(x) > 0$. Por lo tanto, $f(x)$ es creciente en el intervalo $[0, 2]$.2. Para $x \in (2, \infty)$: $f'(x) = -\frac{4}{(x+1)^2}$. El denominador $(x+1)^2$ es siempre positivo para $x > 2$, y el numerador es $-4$ (negativo). Por lo tanto, $f'(x) < 0$. Así, $f(x)$ es decreciente en el intervalo $[2, \infty)$.Resumen de los intervalos:* Creciente: $[0, 2]$ * Decreciente: $[2, \infty)$

La función cambia de creciente a decreciente en $x=2$. Esto indica que hay un máximo relativo en este punto.

El máximo de la función se encuentra en el punto $(2, \frac{4}{3})$.

Para la representación gráfica, consideramos los puntos clave y el comportamiento en cada tramo:1. Tramo $f(x) = \frac{x^2}{3}$ para $0 \le x \le 2$:* Es una parábola que se abre hacia arriba.* Puntos: $f(0) = 0$, $f(1) = \frac{1}{3}$, $f(2) = \frac{4}{3} \approx 1.33$.2. Tramo $f(x) = \frac{4}{x+1}$ para $x > 2$:* Es una hipérbola. A medida que $x$ tiende a infinito, $f(x)$ tiende a $0$, por lo que el eje $x$ es una asíntota horizontal.* Puntos: $f(2) = \frac{4}{3}$, $f(3) = \frac{4}{4} = 1$, $f(4) = \frac{4}{5} = 0.8$.El gráfico mostrará una curva creciente desde $(0,0)$ hasta $(2, 4/3)$, y luego una curva decreciente asintóticamente hacia el eje X a partir de $(2, 4/3)$.