T4: Funciones · Análisis de funciones racionales — MATEMATICA APLICADAS A LAS CIENCIA SOCIALES II PEvAU Andaluc%C3%ADa 2024

Análisis de funciones racionales

Problema

2024 · Extraordinaria · Suplente

BLOQUE B

Se considera la función

f(x) = 1 - \frac{4}{3+x}

a) Halle el dominio de

f

y los puntos de corte de su gráfica con los ejes de coordenadas.b) Calcule las asíntotas de la función

f

.c) Obtenga los puntos donde la recta tangente a la gráfica de

f

tiene pendiente 1.d) Estudie la curvatura de la función

f

AnálisisFunciones racionalesAsíntotas+2

a) Halle el dominio de

f

y los puntos de corte de su gráfica con los ejes de coordenadas.

La función $f(x) = 1 - \frac{4}{3+x}$ es una función racional. El denominador no puede ser cero, por lo tanto:

3+x \neq 0 \implies x \neq -3

El dominio de la función es $D(f) = \mathbb{R} \setminus \{-3\}$ .Para los puntos de corte con los ejes de coordenadas:Corte con el eje Y (cuando $x=0$ ):

f(0) = 1 - \frac{4}{3+0} = 1 - \frac{4}{3} = -\frac{1}{3}

El punto de corte con el eje Y es $(0, -1/3)$ .Corte con el eje X (cuando $f(x)=0$ ):

1 - \frac{4}{3+x} = 0 \implies 1 = \frac{4}{3+x} \implies 3+x = 4 \implies x = 1

El punto de corte con el eje X es $(1, 0)$ .

b) Calcule las asíntotas de la función

f

Asíntotas verticales (AV): Se buscan los valores de $x$ que anulan el denominador.

3+x=0 \implies x=-3

Calculamos los límites laterales para confirmar la asíntota vertical:

\lim_{x \to -3^+} \left(1 - \frac{4}{3+x}\right) = 1 - \frac{4}{0^+} = 1 - \infty = -\infty

\lim_{x \to -3^-} \left(1 - \frac{4}{3+x}\right) = 1 - \frac{4}{0^-} = 1 - (-\infty) = +\infty

Por lo tanto, la recta $x=-3$ es una asíntota vertical.Asíntotas horizontales (AH): Se calculan los límites de la función cuando $x \to \pm\infty$ .

\lim_{x \to \pm\infty} \left(1 - \frac{4}{3+x}\right) = 1 - 0 = 1

Por lo tanto, la recta $y=1$ es una asíntota horizontal.Asíntotas oblicuas (AO): Al existir asíntota horizontal, no hay asíntota oblicua.

c) Obtenga los puntos donde la recta tangente a la gráfica de

f

tiene pendiente 1.

La pendiente de la recta tangente en un punto viene dada por la primera derivada de la función. Primero, calculamos $f'(x)$ :

f(x) = 1 - 4(3+x)^{-1}

f'(x) = 0 - 4(-1)(3+x)^{-2}(1) = \frac{4}{(3+x)^2}

Ahora, igualamos la derivada a 1 para encontrar los valores de $x$ donde la pendiente es 1:

\frac{4}{(3+x)^2} = 1

(3+x)^2 = 4

3+x = \pm\sqrt{4}

3+x = \pm 2

Tenemos dos posibles valores para $x$ :

3+x = 2 \implies x = -1

3+x = -2 \implies x = -5

Ahora calculamos las coordenadas $y$ correspondientes a estos valores de $x$ :Para $x=-1$ :

f(-1) = 1 - \frac{4}{3+(-1)} = 1 - \frac{4}{2} = 1 - 2 = -1

El punto es $(-1, -1)$ .Para $x=-5$ :

f(-5) = 1 - \frac{4}{3+(-5)} = 1 - \frac{4}{-2} = 1 + 2 = 3

El punto es $(-5, 3)$ .

d) Estudie la curvatura de la función

f

Para estudiar la curvatura, calculamos la segunda derivada de la función.

f'(x) = 4(3+x)^{-2}

f''(x) = 4(-2)(3+x)^{-3}(1) = -8(3+x)^{-3} = \frac{-8}{(3+x)^3}

El signo de $f''(x)$ determina la curvatura. La segunda derivada nunca es cero. El signo depende del término $(3+x)^3$ en el denominador.Consideramos el punto $x=-3$ , donde la función no está definida.Si $x > -3 \implies 3+x > 0 \implies (3+x)^3 > 0$ :

f''(x) = \frac{-8}{\text{positivo}} < 0

En el intervalo $(-3, +\infty)$ , la función es cóncava hacia abajo (curvatura $\cap$ ).Si $x < -3 \implies 3+x < 0 \implies (3+x)^3 < 0$ :

f''(x) = \frac{-8}{\text{negativo}} > 0

En el intervalo $(-\infty, -3)$ , la función es cóncava hacia arriba (curvatura $\cup$ ). No hay puntos de inflexión ya que $x=-3$ no pertenece al dominio de la función.