La función $f(x)$ está definida por tramos. Cada tramo es una función polinómica o constante, por lo que es continua y derivable en sus respectivos intervalos abiertos. Solo es necesario estudiar la continuidad y derivabilidad en los puntos de unión: $x = -1$ y $x = 2$.Continuidad en $x = -1$:

Como $f(-1) = \lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^+} f(x) = 5$, la función es continua en $x = -1$.Continuidad en $x = 2$:

Dado que $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 0 \ne \lim_{x \to 2^+} f(x) = \frac{3}{2}$, la función no es continua en $x = 2$. Presenta una discontinuidad de salto finito.En resumen, $f$ es continua en $(-\infty, 2) \cup (2, \infty)$.Derivabilidad en $x = -1$:Para estudiar la derivabilidad, primero calculamos la derivada de cada tramo en los intervalos abiertos:

Como las derivadas laterales son distintas ($8 \ne -\frac{5}{3}$), la función no es derivable en $x = -1$.Derivabilidad en $x = 2$:Dado que la función no es continua en $x = 2$, tampoco es derivable en $x = 2$.En resumen, $f$ es derivable en $(-\infty, -1) \cup (-1, 2) \cup (2, \infty)$.

Para representar gráficamente la función, analizamos cada tramo:Para $x < -1$: $f(x) = 4x^2 + 16x + 17$. Es una parábola con vértice en $x_v = -\frac{16}{2 \cdot 4} = -2$.$f(-2) = 4(-2)^2 + 16(-2) + 17 = 16 - 32 + 17 = 1$. El vértice es $(-2, 1)$.El punto $(-1, 5)$ es un punto abierto para este tramo, ya que el intervalo es $x < -1$. Otros puntos de la parábola: $(-3, 5)$.Para $-1 \le x \le 2$: $f(x) = \frac{1}{3}(10 - 5x)$. Es un segmento de recta.En $x=-1$, $f(-1) = \frac{1}{3}(10 - 5(-1)) = 5$. El punto $(-1, 5)$ es cerrado.En $x=2$, $f(2) = \frac{1}{3}(10 - 5(2)) = 0$. El punto $(2, 0)$ es cerrado.Para $x > 2$: $f(x) = \frac{3}{2}$. Es una recta horizontal.El punto $(2, \frac{3}{2})$ es un punto abierto para este tramo, ya que el intervalo es $x > 2$. Para $x=3$, $f(3) = \frac{3}{2}$.La gráfica consiste en una parábola que decrece desde $x = -\infty$ hasta su vértice $(-2,1)$ y luego sube hasta el punto $(-1,5)$ (abierto en esta parte). A continuación, un segmento de recta une el punto cerrado $(-1,5)$ con el punto cerrado $(2,0)$. Finalmente, una semirrecta horizontal $y = \frac{3}{2}$ para $x > 2$ comienza en un punto abierto $(2, \frac{3}{2})$ y se extiende hacia la derecha.

El área solicitada se calcula mediante la integral definida de $f(x)$ en el intervalo $[-2, 2]$. El intervalo se divide en dos partes según la definición de $f(x)$:Para $x \in [-2, -1)$, $f(x) = 4x^2 + 16x + 17$. El vértice de esta parábola es $(-2, 1)$, que es su mínimo. Por lo tanto, $f(x) \ge 1 > 0$ en este intervalo.Para $x \in [-1, 2]$, $f(x) = \frac{1}{3}(10 - 5x)$. En $x=-1$, $f(-1)=5$. En $x=2$, $f(2)=0$. Como es una recta decreciente, $f(x) \ge 0$ en este intervalo.Dado que $f(x) \ge 0$ en todo el intervalo $[-2, 2]$, el área $A$ es la suma de las integrales de cada tramo:

Calculamos la primera integral:

Calculamos la segunda integral:

Sumamos ambas áreas para obtener el área total: