T1: Interacción gravitatoria · Órbitas — FISICA PEvAU Andaluc%C3%ADa 2018

Órbitas

Teoría

2018 · Ordinaria · Titular

1B-a

Un satélite artificial describe una órbita circular en torno a la Tierra.

a) ¿Cómo cambiaría su velocidad orbital si la masa de la Tierra se duplicase, manteniendo constante su radio? ¿Y su energía mecánica?

Velocidad orbitalEnergía mecánica

Apartado a) Efecto de duplicar la masa de la Tierra

Para un satélite en órbita circular, la fuerza gravitatoria proporciona la fuerza centrípeta necesaria:

\frac{GM_T m}{r^2} = \frac{mv^2}{r}

Despejando la velocidad orbital:

v = \sqrt{\frac{GM_T}{r}}

Si la masa de la Tierra se duplica ( $M_T' = 2M_T$ ) manteniendo el radio $r$ constante, la nueva velocidad orbital será:

v' = \sqrt{\frac{G \cdot 2M_T}{r}} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{GM_T}{r}} = \sqrt{2}\, v

La velocidad orbital se multiplica por $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ , es decir, aumenta aproximadamente un 41%.

Energía mecánica total

La energía mecánica total del satélite en órbita circular es la suma de la energía cinética y la energía potencial gravitatoria:

E = E_c + E_p = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GM_T m}{r}

Sustituyendo $v^2 = \dfrac{GM_T}{r}$ :

E = \frac{1}{2}m\frac{GM_T}{r} - \frac{GM_T m}{r} = -\frac{GM_T m}{2r}

Si la masa de la Tierra se duplica ( $M_T' = 2M_T$ ), la nueva energía mecánica es:

E' = -\frac{G \cdot 2M_T \cdot m}{2r} = -\frac{GM_T m}{r} = 2E

La energía mecánica total se duplica en valor absoluto (se vuelve el doble de negativa). Dado que la energía es negativa, esto significa que el satélite queda más ligado gravitatoriamente: su energía mecánica disminuye (se hace más negativa, pasando de $E$ a $2E$ ).

Conclusión

Velocidad orbital:

v' = \sqrt{2}\, v

→ la velocidad aumenta un factor

\sqrt{2}

.Energía mecánica:

E' = 2E

→ la energía se duplica en valor absoluto, haciéndose el doble de negativa (el satélite queda más ligado al nuevo campo gravitatorio).