T1: Interacción gravitatoria

Satélites en órbita circular

Teoría

2017 · Ordinaria · Suplente

1B-a

a) Indique razonadamente la relación que existe entre las energías cinética y potencial gravitatoria de un satélite que gira en una órbita circular en torno a un planeta.

energía cinéticaenergía potencialórbita circular

a) Relación entre energía cinética y energía potencial gravitatoria de un satélite en órbita circular.

Para un satélite de masa $m$ orbitando en órbita circular a distancia $r$ del centro de un planeta de masa $M$ , la fuerza gravitatoria actúa como fuerza centrípeta. Igualamos ambas fuerzas:

F_g = F_c \Rightarrow \frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r}

Despejando $mv^2$ de esta expresión:

mv^2 = \frac{GMm}{r}

La energía cinética del satélite es:

E_c = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{2r}

La energía potencial gravitatoria del satélite (tomando como referencia el infinito) es:

E_p = -\frac{GMm}{r}

Comparando ambas expresiones se obtiene la relación fundamental:

E_c = -\frac{1}{2}E_p

Es decir, la energía cinética es igual a la mitad del valor absoluto de la energía potencial gravitatoria, y tiene signo contrario a esta. Este resultado es una expresión del Teorema del Virial aplicado a interacciones gravitatorias.Como consecuencia, la energía mecánica total del satélite en órbita circular es siempre negativa:

E_{mec} = E_c + E_p = \frac{GMm}{2r} - \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{2r} < 0

El valor negativo de la energía mecánica total indica que el satélite está ligado gravitacionalmente al planeta, lo que es condición necesaria para que permanezca en órbita.