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T3: Geometría
Puntos, rectas y planos
Problema
2023 · Ordinaria · Reserva
7
Examen

Considera los puntos A(1,−2,3)A(1, -2, 3) y B(2,0,−1)B(2, 0, -1).

a) Halla los puntos que dividen el segmento ABAB en cuatro partes iguales.b) Determina la ecuación del plano perpendicular al segmento ABAB que pasa por el punto medio de dicho segmento.
SegmentosPunto medioPlanos
a) Halla los puntos que dividen el segmento ABAB en cuatro partes iguales.

Para dividir el segmento definido por los puntos A(1,−2,3)A(1, -2, 3) y B(2,0,−1)B(2, 0, -1) en cuatro partes iguales, necesitamos encontrar tres puntos intermedios P1,P2,P3P_1, P_2, P_3. Primero calculamos el vector director del segmento AB⃗\vec{AB}:

AB⃗=B−A=(2−1,0−(−2),−1−3)=(1,2,−4)\vec{AB} = B - A = (2 - 1, 0 - (-2), -1 - 3) = (1, 2, -4)

Los puntos buscados se obtienen sumando a las coordenadas de AA las fracciones correspondientes del vector AB⃗\vec{AB}:

P1=A+14AB⃗=(1,−2,3)+(14,24,−44)=(54,−32,2)P_1 = A + \frac{1}{4}\vec{AB} = (1, -2, 3) + \left(\frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{-4}{4}\right) = \left(\frac{5}{4}, -\frac{3}{2}, 2\right)
P2=A+24AB⃗=(1,−2,3)+(12,1,−2)=(32,−1,1)P_2 = A + \frac{2}{4}\vec{AB} = (1, -2, 3) + \left(\frac{1}{2}, 1, -2\right) = \left(\frac{3}{2}, -1, 1\right)
P3=A+34AB⃗=(1,−2,3)+(34,64,−3)=(74,−12,0)P_3 = A + \frac{3}{4}\vec{AB} = (1, -2, 3) + \left(\frac{3}{4}, \frac{6}{4}, -3\right) = \left(\frac{7}{4}, -\frac{1}{2}, 0\right)
b) Determina la ecuación del plano perpendicular al segmento ABAB que pasa por el punto medio de dicho segmento.

El vector normal del plano n⃗\vec{n} coincide con el vector AB⃗=(1,2,−4)\vec{AB} = (1, 2, -4). El punto por el que pasa el plano es el punto medio MM del segmento ABAB, que hemos calculado en el apartado anterior como P2P_2:

M=(32,−1,1)M = \left(\frac{3}{2}, -1, 1\right)

La ecuación general del plano es de la forma Ax+By+Cz+D=0Ax + By + Cz + D = 0. Utilizando los componentes del vector normal:

x+2y−4z+D=0x + 2y - 4z + D = 0

Para determinar DD, imponemos que el punto MM pertenezca al plano:

32+2(−1)−4(1)+D=0  ⟹  32−2−4+D=0  ⟹  32−6+D=0  ⟹  D=92\frac{3}{2} + 2(-1) - 4(1) + D = 0 \implies \frac{3}{2} - 2 - 4 + D = 0 \implies \frac{3}{2} - 6 + D = 0 \implies D = \frac{9}{2}

Sustituyendo el valor de DD, obtenemos la ecuación del plano:

x+2y−4z+92=0x + 2y - 4z + \frac{9}{2} = 0

Multiplicando por 2 para obtener coeficientes enteros, la ecuación final es:

2x+4y−8z+9=02x + 4y - 8z + 9 = 0