Los números cuánticos describen la energía, el tamaño, la forma y la orientación espacial de un orbital atómico, así como el espín del electrón. Sus valores permitidos son:El número cuántico principal ($n$) puede tomar valores enteros positivos ($1, 2, 3, ...$) y determina el nivel de energía principal y el tamaño del orbital.El número cuántico de momento angular o azimutal ($l$) puede tomar valores enteros desde $0$ hasta $n-1$. Define la forma del orbital. $l=0$ corresponde a orbitales $s$, $l=1$ a $p$, $l=2$ a $d$ y $l=3$ a $f$.El número cuántico magnético ($m_l$) puede tomar valores enteros desde $-l$ hasta $+l$, incluyendo el $0$. Determina la orientación espacial del orbital.El número cuántico de espín ($m_s$) puede tomar los valores $+1/2$ o $-1/2$. Indica la dirección del espín del electrón.

Analizando cada combinación:I) $(1, 0, 2, -1/2)$: No está permitida porque el valor de $m_l$ debe estar entre $-l$ y $+l$. Para $l=0$, el único valor posible para $m_l$ es $0$. En esta combinación, $m_l=2$, lo cual es incorrecto.II) $(5, 0, 0, 1/2)$: Sí está permitida. $n=5$ es un entero positivo. Para $n=5$, $l=0$ es válido ($0 \le l \le n-1 \Rightarrow 0 \le 0 \le 4$). Para $l=0$, $m_l=0$ es válido ($-0 \le m_l \le +0$). $m_s=1/2$ es un valor permitido.III) $(3, 2, -2, -1/2)$: Sí está permitida. $n=3$ es un entero positivo. Para $n=3$, $l=2$ es válido ($0 \le l \le n-1 \Rightarrow 0 \le 2 \le 2$). Para $l=2$, $m_l=-2$ es válido ($-2 \le m_l \le +2$). $m_s=-1/2$ es un valor permitido.IV) $(0, 0, 0, 1/2)$: No está permitida porque el número cuántico principal $n$ debe ser un entero positivo ($n \ge 1$). En esta combinación, $n=0$, lo cual es incorrecto.

Las combinaciones permitidas son II y III.Para la combinación II) $(5, 0, 0, 1/2)$: $n=5$ y $l=0$. Esto corresponde a un orbital $5s$.Para la combinación III) $(3, 2, -2, -1/2)$: $n=3$ y $l=2$. Esto corresponde a un orbital $3d$.

Los orbitales permitidos son $5s$ y $3d$. Para ordenar los orbitales según su energía en átomos multielectrónicos, se aplica el principio de Aufbau, que establece que los electrones ocupan primero los orbitales de menor energía. La energía de un orbital se determina principalmente por la suma $(n+l)$. Cuanto menor sea $(n+l)$, menor será la energía del orbital.Para el orbital $5s$: $n=5$, $l=0$. La suma $(n+l)$ es $5+0=5$.Para el orbital $3d$: $n=3$, $l=2$. La suma $(n+l)$ es $3+2=5$.Cuando dos orbitales tienen el mismo valor de $(n+l)$, el orbital con el valor de $n$ más bajo tiene menor energía. En este caso, ambos orbitales tienen $(n+l)=5$. El orbital $3d$ tiene $n=3$, mientras que el orbital $5s$ tiene $n=5$. Por lo tanto, el orbital $3d$ tiene menor energía que el $5s$.El orden creciente de energía es: