Para calcular el valor de $a$, debemos evaluar el límite dado:

Cuando $x \to +\infty$, el numerador $ax$ tiende a $\pm\infty$ (dependiendo del signo de $a$, pero como el límite es 1, $a$ debe ser positivo) y el denominador $(\ln x)^3 + 2x$ tiende a $+\infty$. Esto es una indeterminación del tipo $\frac{\infty}{\infty}$.Para resolver este tipo de indeterminaciones, podemos comparar el orden de crecimiento de los términos. Sabemos que las funciones polinómicas crecen más rápido que las funciones logarítmicas. Específicamente, $x$ crece más rápido que $(\ln x)^3$ cuando $x \to +\infty$. Es decir, $\lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln x)^k}{x^p} = 0$ para cualquier $k,p > 0$.Podemos dividir tanto el numerador como el denominador por la mayor potencia de $x$ que aparece en el denominador, que en este caso es $x$ (ya que $x$ crece más rápido que $(\ln x)^3$).

Simplificando la expresión:

Ahora evaluamos el límite de cada término en el denominador. Sabemos que:

Sustituyendo este valor en el límite principal:

Según el enunciado, este límite es igual a 1. Por lo tanto, igualamos nuestra expresión a 1 para encontrar el valor de $a$:

Despejando $a$: