T6: Teoría de muestras · Intervalos de confianza para proporciones — MATEMATICA APLICADAS A LAS CIENCIA SOCIALES II PEvAU Andaluc%C3%ADa 2024

Intervalos de confianza para proporciones

Problema

2024 · Extraordinaria · Titular

Se desea estimar la proporción de personas que viajan en tren con su mascota. Para ello, se selecciona una muestra aleatoria de 300 viajeros, obteniéndose que 12 de ellos viajan con su mascota.

a) Obtenga un intervalo, con un nivel de confianza del 97%, para estimar la proporción de personas que viajan en tren con su mascota.b) Manteniendo la misma proporción muestral y con un nivel de confianza del 95%, ¿cuántas personas que viajan en tren deberán seleccionarse aleatoriamente como mínimo para que la proporción muestral difiera de la proporción poblacional a lo sumo en un 2%?

Inferencia estadísticaIntervalo de confianzaTamaño muestral

Datos iniciales:Tamaño de la muestra: $n = 300$ Número de viajeros con mascota: $x = 12$ Proporción muestral de viajeros con mascota: $\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{12}{300} = 0.04$ Proporción muestral de viajeros sin mascota: $\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.04 = 0.96$

a) Obtenga un intervalo, con un nivel de confianza del 97%, para estimar la proporción de personas que viajan en tren con su mascota.

Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.97 \Rightarrow \alpha = 0.03 \Rightarrow \frac{\alpha}{2} = 0.015$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z < z_{\alpha/2}) = 1 - 0.015 = 0.985$ . De las tablas de la distribución normal estándar, obtenemos $z_{0.015} \approx 2.17$ .La fórmula para el intervalo de confianza de una proporción poblacional es:

\text{IC} = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}, \hat{p} + z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} \right)

Calculamos el error máximo de estimación (E):

E = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} = 2.17 \sqrt{\frac{0.04 \cdot 0.96}{300}}

E = 2.17 \sqrt{\frac{0.0384}{300}} = 2.17 \sqrt{0.000128}

E \approx 2.17 \cdot 0.011318 \approx 0.02456

Ahora construimos el intervalo de confianza:

\text{IC} = (0.04 - 0.02456, 0.04 + 0.02456)

\text{IC} = (0.01544, 0.06456)

El intervalo de confianza del 97% para la proporción de personas que viajan en tren con su mascota es $(0.0154, 0.0646)$ .

b) Manteniendo la misma proporción muestral y con un nivel de confianza del 95%, ¿cuántas personas que viajan en tren deberán seleccionarse aleatoriamente como mínimo para que la proporción muestral difiera de la proporción poblacional a lo sumo en un 2%?

Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.95 \Rightarrow \alpha = 0.05 \Rightarrow \frac{\alpha}{2} = 0.025$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z < z_{\alpha/2}) = 1 - 0.025 = 0.975$ . De las tablas de la distribución normal estándar, obtenemos $z_{0.025} = 1.96$ .Error máximo permitido (E): $2\% = 0.02$ Proporción muestral ( $\hat{p}$ ) a utilizar: $0.04$ (la misma que en el apartado a))Proporción $\hat{q}$ : $1 - 0.04 = 0.96$ La fórmula para el tamaño muestral es:

n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \hat{p}\hat{q}}{E^2}

Sustituyendo los valores:

n = \frac{(1.96)^2 \cdot 0.04 \cdot 0.96}{(0.02)^2}

n = \frac{3.8416 \cdot 0.0384}{0.0004}

n = \frac{0.147502144}{0.0004}

n = 368.75536

Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y se necesita un mínimo, se redondea al siguiente entero superior.Se deberán seleccionar aleatoriamente al menos $369$ personas.