a) Estudia el rango de A A A según los valores de m m m . Para estudiar el rango de la matriz A A A , calculamos su determinante:
A = ( 1 − 1 m + 2 0 1 m + 1 m 0 5 ) A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & m + 2 \\ 0 & 1 & m + 1 \\ m & 0 & 5 \end{pmatrix} A = 1 0 m − 1 1 0 m + 2 m + 1 5 det ( A ) = 1 ⋅ ( 1 ⋅ 5 − 0 ⋅ ( m + 1 ) ) − ( − 1 ) ⋅ ( 0 ⋅ 5 − m ⋅ ( m + 1 ) ) + ( m + 2 ) ⋅ ( 0 ⋅ 0 − m ⋅ 1 ) \det(A) = 1 \cdot (1 \cdot 5 - 0 \cdot (m+1)) - (-1) \cdot (0 \cdot 5 - m \cdot (m+1)) + (m+2) \cdot (0 \cdot 0 - m \cdot 1) det ( A ) = 1 ⋅ ( 1 ⋅ 5 − 0 ⋅ ( m + 1 )) − ( − 1 ) ⋅ ( 0 ⋅ 5 − m ⋅ ( m + 1 )) + ( m + 2 ) ⋅ ( 0 ⋅ 0 − m ⋅ 1 ) det ( A ) = 1 ⋅ ( 5 ) + 1 ⋅ ( − m ( m + 1 ) ) + ( m + 2 ) ⋅ ( − m ) \det(A) = 1 \cdot (5) + 1 \cdot (-m(m+1)) + (m+2) \cdot (-m) det ( A ) = 1 ⋅ ( 5 ) + 1 ⋅ ( − m ( m + 1 )) + ( m + 2 ) ⋅ ( − m ) det ( A ) = 5 − ( m 2 + m ) − ( m 2 + 2 m ) \det(A) = 5 - (m^2 + m) - (m^2 + 2m) det ( A ) = 5 − ( m 2 + m ) − ( m 2 + 2 m ) det ( A ) = 5 − m 2 − m − m 2 − 2 m \det(A) = 5 - m^2 - m - m^2 - 2m det ( A ) = 5 − m 2 − m − m 2 − 2 m det ( A ) = − 2 m 2 − 3 m + 5 \det(A) = -2m^2 - 3m + 5 det ( A ) = − 2 m 2 − 3 m + 5 Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores de m m m para los cuales el rango podría ser menor que 3:
− 2 m 2 − 3 m + 5 = 0 -2m^2 - 3m + 5 = 0 − 2 m 2 − 3 m + 5 = 0 2 m 2 + 3 m − 5 = 0 2m^2 + 3m - 5 = 0 2 m 2 + 3 m − 5 = 0 Resolvemos la ecuación cuadrática:
m = − 3 ± 3 2 − 4 ( 2 ) ( − 5 ) 2 ( 2 ) m = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(2)(-5)}}{2(2)} m = 2 ( 2 ) − 3 ± 3 2 − 4 ( 2 ) ( − 5 ) m = − 3 ± 9 + 40 4 m = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 40}}{4} m = 4 − 3 ± 9 + 40 m = − 3 ± 49 4 m = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{4} m = 4 − 3 ± 49 m = − 3 ± 7 4 m = \frac{-3 \pm 7}{4} m = 4 − 3 ± 7 m 1 = − 3 + 7 4 = 4 4 = 1 m_1 = \frac{-3 + 7}{4} = \frac{4}{4} = 1 m 1 = 4 − 3 + 7 = 4 4 = 1 m 2 = − 3 − 7 4 = − 10 4 = − 5 2 m_2 = \frac{-3 - 7}{4} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2} m 2 = 4 − 3 − 7 = 4 − 10 = − 2 5 Ahora analizamos el rango para diferentes valores de m m m : 1. Si m ≠ 1 m \neq 1 m = 1 y m ≠ − 5 2 m \neq -\frac{5}{2} m = − 2 5 : En este caso, det ( A ) ≠ 0 \det(A) \neq 0 det ( A ) = 0 , por lo tanto, el rango de A A A es 3. rg ( A ) = 3 \text{rg}(A) = 3 rg ( A ) = 3 . 2. Si m = 1 m = 1 m = 1 : Sustituimos m = 1 m = 1 m = 1 en la matriz A A A :
A = ( 1 − 1 3 0 1 2 1 0 5 ) A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 5 \end{pmatrix} A = 1 0 1 − 1 1 0 3 2 5 Sabemos que det ( A ) = 0 \det(A) = 0 det ( A ) = 0 , por lo que rg ( A ) < 3 \text{rg}(A) < 3 rg ( A ) < 3 . Consideramos el menor de orden 2 formado por las dos primeras filas y columnas:
∣ 1 − 1 0 1 ∣ = 1 ⋅ 1 − ( − 1 ) ⋅ 0 = 1 ≠ 0 \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - (-1) \cdot 0 = 1 \neq 0 1 0 − 1 1 = 1 ⋅ 1 − ( − 1 ) ⋅ 0 = 1 = 0 Dado que existe un menor de orden 2 no nulo, el rango de A A A es 2 cuando m = 1 m = 1 m = 1 . rg ( A ) = 2 \text{rg}(A) = 2 rg ( A ) = 2 . 3. Si m = − 5 2 m = -\frac{5}{2} m = − 2 5 : Sustituimos m = − 5 2 m = -\frac{5}{2} m = − 2 5 en la matriz A A A :
A = ( 1 − 1 − 5 2 + 2 0 1 − 5 2 + 1 − 5 2 0 5 ) = ( 1 − 1 − 1 2 0 1 − 3 2 − 5 2 0 5 ) A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -\frac{5}{2} + 2 \\ 0 & 1 & -\frac{5}{2} + 1 \\ -\frac{5}{2} & 0 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & -\frac{3}{2} \\ -\frac{5}{2} & 0 & 5 \end{pmatrix} A = 1 0 − 2 5 − 1 1 0 − 2 5 + 2 − 2 5 + 1 5 = 1 0 − 2 5 − 1 1 0 − 2 1 − 2 3 5 Sabemos que det ( A ) = 0 \det(A) = 0 det ( A ) = 0 , por lo que rg ( A ) < 3 \text{rg}(A) < 3 rg ( A ) < 3 . Consideramos el mismo menor de orden 2 que en el caso anterior:
∣ 1 − 1 0 1 ∣ = 1 ⋅ 1 − ( − 1 ) ⋅ 0 = 1 ≠ 0 \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - (-1) \cdot 0 = 1 \neq 0 1 0 − 1 1 = 1 ⋅ 1 − ( − 1 ) ⋅ 0 = 1 = 0 Dado que existe un menor de orden 2 no nulo, el rango de A A A es 2 cuando m = − 5 2 m = -\frac{5}{2} m = − 2 5 . rg ( A ) = 2 \text{rg}(A) = 2 rg ( A ) = 2 .
b) Para m = 2 m = 2 m = 2 , calcula la inversa de 2020 A 2020A 2020 A . Primero, sustituimos m = 2 m = 2 m = 2 en la matriz A A A :
A = ( 1 − 1 2 + 2 0 1 2 + 1 2 0 5 ) = ( 1 − 1 4 0 1 3 2 0 5 ) A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 + 2 \\ 0 & 1 & 2 + 1 \\ 2 & 0 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 5 \end{pmatrix} A = 1 0 2 − 1 1 0 2 + 2 2 + 1 5 = 1 0 2 − 1 1 0 4 3 5 Calculamos el determinante de A A A para m = 2 m=2 m = 2 usando la expresión obtenida en el apartado anterior:
det ( A ) = − 2 ( 2 ) 2 − 3 ( 2 ) + 5 = − 2 ( 4 ) − 6 + 5 = − 8 − 6 + 5 = − 9 \det(A) = -2(2)^2 - 3(2) + 5 = -2(4) - 6 + 5 = -8 - 6 + 5 = -9 det ( A ) = − 2 ( 2 ) 2 − 3 ( 2 ) + 5 = − 2 ( 4 ) − 6 + 5 = − 8 − 6 + 5 = − 9 Como det ( A ) = − 9 ≠ 0 \det(A) = -9 \neq 0 det ( A ) = − 9 = 0 , la inversa de A A A existe. Calculamos la matriz adjunta de A A A .
C 11 = ∣ 1 3 0 5 ∣ = 5 C 12 = − ∣ 0 3 2 5 ∣ = 6 C 13 = ∣ 0 1 2 0 ∣ = − 2 C_{11} = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} = 5 \qquad C_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} = 6 \qquad C_{13} = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = -2 C 11 = 1 0 3 5 = 5 C 12 = − 0 2 3 5 = 6 C 13 = 0 2 1 0 = − 2 C 21 = − ∣ − 1 4 0 5 ∣ = 5 C 22 = ∣ 1 4 2 5 ∣ = − 3 C 23 = − ∣ 1 − 1 2 0 ∣ = − 2 C_{21} = -\begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} = 5 \qquad C_{22} = \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} = -3 \qquad C_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = -2 C 21 = − − 1 0 4 5 = 5 C 22 = 1 2 4 5 = − 3 C 23 = − 1 2 − 1 0 = − 2 C 31 = ∣ − 1 4 1 3 ∣ = − 7 C 32 = − ∣ 1 4 0 3 ∣ = − 3 C 33 = ∣ 1 − 1 0 1 ∣ = 1 C_{31} = \begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = -7 \qquad C_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = -3 \qquad C_{33} = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 C 31 = − 1 1 4 3 = − 7 C 32 = − 1 0 4 3 = − 3 C 33 = 1 0 − 1 1 = 1 La matriz de cofactores es:
C = ( 5 6 − 2 5 − 3 − 2 − 7 − 3 1 ) C = \begin{pmatrix} 5 & 6 & -2 \\ 5 & -3 & -2 \\ -7 & -3 & 1 \end{pmatrix} C = 5 5 − 7 6 − 3 − 3 − 2 − 2 1 La matriz adjunta es la transpuesta de la matriz de cofactores:
adj ( A ) = C T = ( 5 5 − 7 6 − 3 − 3 − 2 − 2 1 ) \text{adj}(A) = C^T = \begin{pmatrix} 5 & 5 & -7 \\ 6 & -3 & -3 \\ -2 & -2 & 1 \end{pmatrix} adj ( A ) = C T = 5 6 − 2 5 − 3 − 2 − 7 − 3 1 Ahora calculamos la inversa de A A A :
A − 1 = 1 det ( A ) adj ( A ) = 1 − 9 ( 5 5 − 7 6 − 3 − 3 − 2 − 2 1 ) A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A) = \frac{1}{-9} \begin{pmatrix} 5 & 5 & -7 \\ 6 & -3 & -3 \\ -2 & -2 & 1 \end{pmatrix} A − 1 = det ( A ) 1 adj ( A ) = − 9 1 5 6 − 2 5 − 3 − 2 − 7 − 3 1 A − 1 = ( − 5 / 9 − 5 / 9 7 / 9 − 6 / 9 3 / 9 3 / 9 2 / 9 2 / 9 − 1 / 9 ) = ( − 5 / 9 − 5 / 9 7 / 9 − 2 / 3 1 / 3 1 / 3 2 / 9 2 / 9 − 1 / 9 ) A^{-1} = \begin{pmatrix} -5/9 & -5/9 & 7/9 \\ -6/9 & 3/9 & 3/9 \\ 2/9 & 2/9 & -1/9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5/9 & -5/9 & 7/9 \\ -2/3 & 1/3 & 1/3 \\ 2/9 & 2/9 & -1/9 \end{pmatrix} A − 1 = − 5/9 − 6/9 2/9 − 5/9 3/9 2/9 7/9 3/9 − 1/9 = − 5/9 − 2/3 2/9 − 5/9 1/3 2/9 7/9 1/3 − 1/9 Finalmente, calculamos la inversa de 2020 A 2020A 2020 A utilizando la propiedad ( k A ) − 1 = 1 k A − 1 (kA)^{-1} = \frac{1}{k} A^{-1} ( k A ) − 1 = k 1 A − 1 :
( 2020 A ) − 1 = 1 2020 A − 1 (2020A)^{-1} = \frac{1}{2020} A^{-1} ( 2020 A ) − 1 = 2020 1 A − 1 ( 2020 A ) − 1 = 1 2020 ( − 5 / 9 − 5 / 9 7 / 9 − 2 / 3 1 / 3 1 / 3 2 / 9 2 / 9 − 1 / 9 ) (2020A)^{-1} = \frac{1}{2020} \begin{pmatrix} -5/9 & -5/9 & 7/9 \\ -2/3 & 1/3 & 1/3 \\ 2/9 & 2/9 & -1/9 \end{pmatrix} ( 2020 A ) − 1 = 2020 1 − 5/9 − 2/3 2/9 − 5/9 1/3 2/9 7/9 1/3 − 1/9 ( 2020 A ) − 1 = ( − 5 / ( 9 ⋅ 2020 ) − 5 / ( 9 ⋅ 2020 ) 7 / ( 9 ⋅ 2020 ) − 2 / ( 3 ⋅ 2020 ) 1 / ( 3 ⋅ 2020 ) 1 / ( 3 ⋅ 2020 ) 2 / ( 9 ⋅ 2020 ) 2 / ( 9 ⋅ 2020 ) − 1 / ( 9 ⋅ 2020 ) ) (2020A)^{-1} = \begin{pmatrix} -5/(9 \cdot 2020) & -5/(9 \cdot 2020) & 7/(9 \cdot 2020) \\ -2/(3 \cdot 2020) & 1/(3 \cdot 2020) & 1/(3 \cdot 2020) \\ 2/(9 \cdot 2020) & 2/(9 \cdot 2020) & -1/(9 \cdot 2020) \end{pmatrix} ( 2020 A ) − 1 = − 5/ ( 9 ⋅ 2020 ) − 2/ ( 3 ⋅ 2020 ) 2/ ( 9 ⋅ 2020 ) − 5/ ( 9 ⋅ 2020 ) 1/ ( 3 ⋅ 2020 ) 2/ ( 9 ⋅ 2020 ) 7/ ( 9 ⋅ 2020 ) 1/ ( 3 ⋅ 2020 ) − 1/ ( 9 ⋅ 2020 ) ( 2020 A ) − 1 = ( − 5 / 18180 − 5 / 18180 7 / 18180 − 2 / 6060 1 / 6060 1 / 6060 2 / 18180 2 / 18180 − 1 / 18180 ) (2020A)^{-1} = \begin{pmatrix} -5/18180 & -5/18180 & 7/18180 \\ -2/6060 & 1/6060 & 1/6060 \\ 2/18180 & 2/18180 & -1/18180 \end{pmatrix} ( 2020 A ) − 1 = − 5/18180 − 2/6060 2/18180 − 5/18180 1/6060 2/18180 7/18180 1/6060 − 1/18180 ( 2020 A ) − 1 = ( − 5 / 18180 − 5 / 18180 7 / 18180 − 1 / 3030 1 / 6060 1 / 6060 2 / 18180 2 / 18180 − 1 / 18180 ) (2020A)^{-1} = \begin{pmatrix} -5/18180 & -5/18180 & 7/18180 \\ -1/3030 & 1/6060 & 1/6060 \\ 2/18180 & 2/18180 & -1/18180 \end{pmatrix} ( 2020 A ) − 1 = − 5/18180 − 1/3030 2/18180 − 5/18180 1/6060 2/18180 7/18180 1/6060 − 1/18180 
