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T1: Interacción gravitatoria
Campo y trabajo gravitatorio
Problema
2021 · Ordinaria · Reserva
A.1-b
Examen
b) Dos masas m1=10 kgm_1 = 10 \text{ kg} y m2=30 kgm_2 = 30 \text{ kg} se encuentran situadas en los puntos A(0,0) mA(0,0) \text{ m} y B(4,3) mB(4,3) \text{ m}, respectivamente. i) Dibuje el campo gravitatorio debido a las dos masas en el punto C(0,3) mC(0,3) \text{ m} y determine su valor. ii) Calcule el trabajo que realiza la fuerza gravitatoria cuando una tercera masa m3=2 kgm_3 = 2 \text{ kg} se desplaza desde el punto C(0,3) mC(0,3) \text{ m} hasta el punto D(4,0) mD(4,0) \text{ m}.

G=6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}

Campo gravitatorioTrabajo gravitatorioMasa puntual
b) i) Dibuje el campo gravitatorio debido a las dos masas en el punto C(0,3) mC(0,3) \text{ m} y determine su valor.

El campo gravitatorio g⃗\vec{g} en un punto debido a una masa MM se define como la fuerza gravitatoria por unidad de masa. Su expresión vectorial es:

g⃗=−GMr2u^r\vec{g} = -G \frac{M}{r^2} \hat{u}_r

donde GG es la constante de gravitación universal, MM es la masa fuente, rr es la distancia desde la masa al punto donde se calcula el campo, y u^r\hat{u}_r es el vector unitario que va desde la masa fuente al punto. El signo negativo indica que el campo gravitatorio es siempre atractivo (dirigido hacia la masa fuente).Calculamos el campo gravitatorio g⃗1\vec{g}_1 en el punto C(0,3)C(0,3) debido a la masa m1=10 kgm_1 = 10 \text{ kg} en A(0,0)A(0,0).El vector posición desde m1m_1 hasta CC es r⃗1C=C−A=(0,3)−(0,0)=(0,3) m\vec{r}_{1C} = C - A = (0,3) - (0,0) = (0,3) \text{ m}. La distancia es r1C=02+32=3 mr_{1C} = \sqrt{0^2 + 3^2} = 3 \text{ m}. El vector unitario es u^1C=r⃗1Cr1C=(0,1)\hat{u}_{1C} = \frac{\vec{r}_{1C}}{r_{1C}} = (0,1).

g⃗1=−Gm1r1C2u^1C=−(6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2)10 kg(3 m)2(0,1)\vec{g}_1 = -G \frac{m_1}{r_{1C}^2} \hat{u}_{1C} = -(6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}) \frac{10 \text{ kg}}{(3 \text{ m})^2} (0,1)
g⃗1=−(6,67⋅10−11)109(0,1) N/kg=(0,−7,41⋅10−11) N/kg\vec{g}_1 = -(6,67 \cdot 10^{-11}) \frac{10}{9} (0,1) \text{ N/kg} = (0, -7,41 \cdot 10^{-11}) \text{ N/kg}

Ahora calculamos el campo gravitatorio g⃗2\vec{g}_2 en el punto C(0,3)C(0,3) debido a la masa m2=30 kgm_2 = 30 \text{ kg} en B(4,3)B(4,3).El vector posición desde m2m_2 hasta CC es r⃗2C=C−B=(0,3)−(4,3)=(−4,0) m\vec{r}_{2C} = C - B = (0,3) - (4,3) = (-4,0) \text{ m}. La distancia es r2C=(−4)2+02=4 mr_{2C} = \sqrt{(-4)^2 + 0^2} = 4 \text{ m}. El vector unitario es u^2C=r⃗2Cr2C=(−1,0)\hat{u}_{2C} = \frac{\vec{r}_{2C}}{r_{2C}} = (-1,0).

g⃗2=−Gm2r2C2u^2C=−(6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2)30 kg(4 m)2(−1,0)\vec{g}_2 = -G \frac{m_2}{r_{2C}^2} \hat{u}_{2C} = -(6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}) \frac{30 \text{ kg}}{(4 \text{ m})^2} (-1,0)
g⃗2=−(6,67⋅10−11)3016(−1,0) N/kg=(12,50625⋅10−11,0) N/kg=(1,25⋅10−10,0) N/kg\vec{g}_2 = -(6,67 \cdot 10^{-11}) \frac{30}{16} (-1,0) \text{ N/kg} = (12,50625 \cdot 10^{-11}, 0) \text{ N/kg} = (1,25 \cdot 10^{-10}, 0) \text{ N/kg}

El campo gravitatorio total en el punto CC es la suma vectorial de los campos individuales:

g⃗C=g⃗1+g⃗2=(0,−7,41⋅10−11)+(1,25⋅10−10,0)\vec{g}_C = \vec{g}_1 + \vec{g}_2 = (0, -7,41 \cdot 10^{-11}) + (1,25 \cdot 10^{-10}, 0)
g⃗C=(1,25⋅10−10,−7,41⋅10−11) N/kg\vec{g}_C = (1,25 \cdot 10^{-10}, -7,41 \cdot 10^{-11}) \text{ N/kg}

La magnitud del campo gravitatorio en CC es:

∣g⃗C∣=(1,25⋅10−10)2+(−7,41⋅10−11)2|\vec{g}_C| = \sqrt{(1,25 \cdot 10^{-10})^2 + (-7,41 \cdot 10^{-11})^2}
∣g⃗C∣=(1,5625⋅10−20)+(0,549081⋅10−20)=2,111581⋅10−20|\vec{g}_C| = \sqrt{(1,5625 \cdot 10^{-20}) + (0,549081 \cdot 10^{-20})} = \sqrt{2,111581 \cdot 10^{-20}}
∣g⃗C∣≈1,453⋅10−10 N/kg|\vec{g}_C| \approx 1,453 \cdot 10^{-10} \text{ N/kg}
XYmm1mm2Cg1g2g_neta
b) ii) Calcule el trabajo que realiza la fuerza gravitatoria cuando una tercera masa m3=2 kgm_3 = 2 \text{ kg} se desplaza desde el punto C(0,3) mC(0,3) \text{ m} hasta el punto D(4,0) mD(4,0) \text{ m}.

El trabajo realizado por una fuerza gravitatoria conservativa es igual a la variación negativa de la energía potencial gravitatoria:

WCD=−(UD−UC)=UC−UDW_{CD} = -(U_D - U_C) = U_C - U_D

La energía potencial gravitatoria de una masa m3m_3 en presencia de varias masas mim_i es la suma de las energías potenciales gravitatorias debidas a cada masa:

U=∑i−Gmim3riU = \sum_{i} -G \frac{m_i m_3}{r_i}

Calculamos la energía potencial gravitatoria en el punto C(0,3)C(0,3):Distancia de m1(0,0)m_1(0,0) a C(0,3)C(0,3): r1C=3 mr_{1C} = 3 \text{ m}.Distancia de m2(4,3)m_2(4,3) a C(0,3)C(0,3): r2C=4 mr_{2C} = 4 \text{ m}.

UC=−Gm1m3r1C−Gm2m3r2CU_C = -G \frac{m_1 m_3}{r_{1C}} - G \frac{m_2 m_3}{r_{2C}}
UC=−(6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2)(10 kg⋅2 kg3 m+30 kg⋅2 kg4 m)U_C = -(6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}) \left( \frac{10 \text{ kg} \cdot 2 \text{ kg}}{3 \text{ m}} + \frac{30 \text{ kg} \cdot 2 \text{ kg}}{4 \text{ m}} \right)
UC=−(6,67⋅10−11)(203+604)=−(6,67⋅10−11)(6,666...+15)U_C = -(6,67 \cdot 10^{-11}) \left( \frac{20}{3} + \frac{60}{4} \right) = -(6,67 \cdot 10^{-11}) (6,666... + 15)
UC=−(6,67⋅10−11)(21,666...)≈−1,4479⋅10−9 JU_C = -(6,67 \cdot 10^{-11}) (21,666...) \approx -1,4479 \cdot 10^{-9} \text{ J}

Calculamos la energía potencial gravitatoria en el punto D(4,0)D(4,0):Distancia de m1(0,0)m_1(0,0) a D(4,0)D(4,0): r1D=(4−0)2+(0−0)2=4 mr_{1D} = \sqrt{(4-0)^2 + (0-0)^2} = 4 \text{ m}.Distancia de m2(4,3)m_2(4,3) a D(4,0)D(4,0): r2D=(4−4)2+(0−3)2=3 mr_{2D} = \sqrt{(4-4)^2 + (0-3)^2} = 3 \text{ m}.

UD=−Gm1m3r1D−Gm2m3r2DU_D = -G \frac{m_1 m_3}{r_{1D}} - G \frac{m_2 m_3}{r_{2D}}
UD=−(6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2)(10 kg⋅2 kg4 m+30 kg⋅2 kg3 m)U_D = -(6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}) \left( \frac{10 \text{ kg} \cdot 2 \text{ kg}}{4 \text{ m}} + \frac{30 \text{ kg} \cdot 2 \text{ kg}}{3 \text{ m}} \right)
UD=−(6,67⋅10−11)(204+603)=−(6,67⋅10−11)(5+20)U_D = -(6,67 \cdot 10^{-11}) \left( \frac{20}{4} + \frac{60}{3} \right) = -(6,67 \cdot 10^{-11}) (5 + 20)
UD=−(6,67⋅10−11)(25)=−1,6675⋅10−9 JU_D = -(6,67 \cdot 10^{-11}) (25) = -1,6675 \cdot 10^{-9} \text{ J}

Finalmente, calculamos el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria:

WCD=UC−UD=(−1,4479⋅10−9 J)−(−1,6675⋅10−9 J)W_{CD} = U_C - U_D = (-1,4479 \cdot 10^{-9} \text{ J}) - (-1,6675 \cdot 10^{-9} \text{ J})
WCD=(−1,4479+1,6675)⋅10−9 JW_{CD} = (-1,4479 + 1,6675) \cdot 10^{-9} \text{ J}
WCD=0,2196⋅10−9 J=2,196⋅10−10 JW_{CD} = 0,2196 \cdot 10^{-9} \text{ J} = 2,196 \cdot 10^{-10} \text{ J}