T2: Interacción electromagnética

Fuerza electromotriz e intensidad inducida

Problema

2026 · Extraordinaria · Titular

B-b1

b1) Una placa de inducción calienta una base metálica (idealizada como una espira circular conductora) mediante un campo magnético variable. El campo magnético, uniforme en la zona de la espira y perpendicular a su plano, viene dado por

B(t) = 1,2 \cdot 10^{-3} \text{ sen}(2\pi f t) \text{ (T)}

, con

f = 25 \text{ kHz}

. La espira tiene un radio de

12 \text{ cm}

y una resistencia de

0,4 \text{ }\Omega

. i) Obtenga la expresión de la fuerza electromotriz inducida en función del tiempo. ii) Calcule la intensidad de corriente inducida en función del tiempo y su valor máximo. iii) ¿Qué le sucede a la intensidad de corriente máxima si la frecuencia

f

disminuye en un factor

10

? Razone todas sus respuestas.

Inducción electromagnéticaFEM inducidaCorriente inducida+1

i) Obtención de la expresión de la fuerza electromotriz inducida en función del tiempo.

Los datos proporcionados son:Campo magnético: $B(t) = 1,2 \cdot 10^{-3} \text{ sen}(2\pi f t) \text{ (T)}$ Frecuencia: $f = 25 \text{ kHz} = 25 \cdot 10^3 \text{ Hz}$ Radio de la espira: $R = 12 \text{ cm} = 0,12 \text{ m}$ Resistencia de la espira: $R_{espira} = 0,4 \text{ }\Omega$ El campo magnético es uniforme en la zona de la espira y perpendicular a su plano. Por lo tanto, el ángulo entre el vector campo magnético $\vec{B}$ y el vector área $\vec{A}$ es $\theta = 0^\circ$ o $180^\circ$ , lo que implica $\cos\theta = \pm 1$ . Para el cálculo del flujo y la fem inducida, consideramos la magnitud.El área de la espira circular es:

A = \pi R^2 = \pi (0,12 \text{ m})^2 = 0,0144\pi \text{ m}^2 \approx 0,045239 \text{ m}^2

El flujo magnético $\Phi_B$ a través de la espira se define como:

\Phi_B = B(t) \cdot A \cos\theta

Sustituyendo el campo magnético y el área:

\Phi_B(t) = (1,2 \cdot 10^{-3} \text{ sen}(2\pi f t)) \cdot (0,0144\pi) \text{ Wb}

\Phi_B(t) = (1,2 \cdot 10^{-3} \cdot 0,0144 \pi) \text{ sen}(2\pi f t) \text{ Wb}

\Phi_B(t) = (1,728 \cdot 10^{-5} \pi) \text{ sen}(2\pi f t) \text{ Wb}

\Phi_B(t) \approx 5,4287 \cdot 10^{-5} \text{ sen}(2\pi f t) \text{ Wb}

Según la Ley de Faraday de la inducción electromagnética, la fuerza electromotriz inducida $\mathcal{E}$ es la derivada temporal negativa del flujo magnético:

\mathcal{E}(t) = -\frac{d\Phi_B}{dt}

Derivamos la expresión del flujo magnético con respecto al tiempo:

\mathcal{E}(t) = -\frac{d}{dt} [(1,728 \cdot 10^{-5} \pi) \text{ sen}(2\pi f t)]

\mathcal{E}(t) = -(1,728 \cdot 10^{-5} \pi) \cdot (2\pi f) \text{ cos}(2\pi f t)

Sustituimos el valor de la frecuencia $f = 25 \cdot 10^3 \text{ Hz}$ :

2\pi f = 2\pi (25 \cdot 10^3 \text{ Hz}) = 50000\pi \text{ rad/s}

\mathcal{E}(t) = -(1,728 \cdot 10^{-5} \pi) \cdot (50000\pi) \text{ cos}(2\pi f t)

\mathcal{E}(t) = -(1,728 \cdot 10^{-5} \cdot 50000 \cdot \pi^2) \text{ cos}(2\pi f t)

\mathcal{E}(t) = -(0,864 \cdot \pi^2) \text{ cos}(2\pi f t)

\mathcal{E}(t) \approx -8,5283 \text{ cos}(2\pi f t) \text{ V}

ii) Cálculo de la intensidad de corriente inducida en función del tiempo y su valor máximo.

Según la Ley de Ohm, la intensidad de corriente inducida $I(t)$ es la fuerza electromotriz inducida dividida por la resistencia de la espira:

I(t) = \frac{\mathcal{E}(t)}{R_{espira}}

Sustituyendo la expresión de $\mathcal{E}(t)$ y el valor de la resistencia $R_{espira} = 0,4 \text{ }\Omega$ :

I(t) = \frac{-8,5283 \text{ cos}(2\pi f t)}{0,4 \text{ }\Omega}

I(t) \approx -21,32 \text{ cos}(2\pi f t) \text{ A}

El valor máximo de la intensidad de corriente inducida ( $I_{max}$ ) se obtiene cuando el término $\cos(2\pi f t)$ es $-1$ o $1$ , es decir, cuando su magnitud es $1$ . Por lo tanto:

I_{max} = \left| \frac{\mathcal{E}_{max}}{R_{espira}} \right| = \frac{|-8,5283 \text{ V}|}{0,4 \text{ }\Omega}

I_{max} \approx 21,32 \text{ A}

iii) ¿Qué le sucede a la intensidad de corriente máxima si la frecuencia

f

disminuye en un factor

10

De la expresión de la fuerza electromotriz inducida que obtuvimos en el apartado i):

\mathcal{E}(t) = -(B_0 A) (2\pi f) \text{ cos}(2\pi f t)

Donde $B_0 = 1,2 \cdot 10^{-3} \text{ T}$ es la amplitud del campo magnético y $A = \pi R^2$ es el área de la espira.La amplitud (valor máximo) de la fuerza electromotriz inducida es directamente proporcional a la frecuencia $f$ :

\mathcal{E}_{max} = B_0 A (2\pi f)

La intensidad de corriente máxima es entonces:

I_{max} = \frac{\mathcal{E}_{max}}{R_{espira}} = \frac{B_0 A (2\pi f)}{R_{espira}}

Esta expresión muestra que la intensidad de corriente máxima $I_{max}$ es directamente proporcional a la frecuencia $f$ . Si la frecuencia $f$ disminuye en un factor de $10$ (es decir, la nueva frecuencia $f' = f/10$ ), entonces la nueva intensidad de corriente máxima $I'_{max}$ será:

I'_{max} = \frac{B_0 A (2\pi f')}{R_{espira}} = \frac{B_0 A (2\pi f/10)}{R_{espira}} = \frac{1}{10} \left( \frac{B_0 A (2\pi f)}{R_{espira}} \right) = \frac{1}{10} I_{max}

Por lo tanto, si la frecuencia $f$ disminuye en un factor $10$ , la intensidad de corriente máxima inducida también disminuirá en un factor $10$ .Razón: La Ley de Faraday establece que la magnitud de la FEM inducida es proporcional a la tasa de cambio del flujo magnético. Si el campo magnético varía sinusoidalmente con una frecuencia $f$ , su derivada temporal (y por ende la FEM inducida) también dependerá linealmente de $f$ (el término $2\pi f$ aparece al derivar la función seno o coseno). Con una menor frecuencia, el flujo magnético cambia más lentamente, resultando en una menor FEM inducida y, consecuentemente, una menor corriente inducida.