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T5: Integrales
Cálculo de primitivas
Problema
2020 · Ordinaria · Titular
6
Examen

Sea ff la función dada por

f(x)=3x2+4(x−2)2 para x≠2f(x) = \frac{3x^2 + 4}{(x - 2)^2} \text{ para } x \neq 2
a) Calcula ∫f(x)dx\int f(x) dx.b) Calcula la primitiva de ff cuya gráfica pasa por el punto (3,5)(3, 5).
Integral indefinidaPrimitivaFunciones racionales
a) Para calcular ∫f(x)dx\int f(x) dx, primero reescribimos la función f(x)f(x) usando la división de polinomios o la descomposición en fracciones parciales. La función es f(x)=3x2+4(x−2)2f(x) = \frac{3x^2 + 4}{(x - 2)^2}. Dado que el grado del numerador es igual al grado del denominador, podemos realizar la división. El denominador es (x−2)2=x2−4x+4(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4.
3x2+4x2−4x+4=3+12x−8x2−4x+4\frac{3x^2 + 4}{x^2 - 4x + 4} = 3 + \frac{12x - 8}{x^2 - 4x + 4}

Ahora, descomponemos la fracción restante en fracciones parciales:

12x−8(x−2)2=Ax−2+B(x−2)2\frac{12x - 8}{(x - 2)^2} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{(x - 2)^2}

Multiplicamos por (x−2)2(x-2)^2:

12x−8=A(x−2)+B12x - 8 = A(x - 2) + B

Desarrollamos e igualamos coeficientes:

12x−8=Ax−2A+B12x - 8 = Ax - 2A + B

Igualando los coeficientes de xx:

A=12A = 12

Igualando los términos constantes:

−8=−2A+B-8 = -2A + B

Sustituimos A=12A = 12:

−8=−2(12)+B⇒−8=−24+B⇒B=16-8 = -2(12) + B \Rightarrow -8 = -24 + B \Rightarrow B = 16

Por lo tanto, la función f(x)f(x) se puede escribir como:

f(x)=3+12x−2+16(x−2)2f(x) = 3 + \frac{12}{x - 2} + \frac{16}{(x - 2)^2}

Ahora integramos término a término:

∫f(x)dx=∫(3+12x−2+16(x−2)2)dx\int f(x) dx = \int \left(3 + \frac{12}{x - 2} + \frac{16}{(x - 2)^2}\right) dx
=∫3dx+∫12x−2dx+∫16(x−2)−2dx= \int 3 dx + \int \frac{12}{x - 2} dx + \int 16(x - 2)^{-2} dx
=3x+12ln⁡∣x−2∣+16(x−2)−1−1+C= 3x + 12 \ln|x - 2| + 16 \frac{(x - 2)^{-1}}{-1} + C
=3x+12ln⁡∣x−2∣−16x−2+C= 3x + 12 \ln|x - 2| - \frac{16}{x - 2} + C
b) Sea F(x)F(x) la primitiva de f(x)f(x). Tenemos que F(x)=3x+12ln⁡∣x−2∣−16x−2+CF(x) = 3x + 12 \ln|x - 2| - \frac{16}{x - 2} + C. Se nos pide encontrar la primitiva cuya gráfica pasa por el punto (3,5)(3, 5), lo que significa que F(3)=5F(3) = 5. Sustituimos x=3x = 3 y F(x)=5F(x) = 5 en la expresión de F(x)F(x) para encontrar el valor de CC.
F(3)=3(3)+12ln⁡∣3−2∣−163−2+C=5F(3) = 3(3) + 12 \ln|3 - 2| - \frac{16}{3 - 2} + C = 5
9+12ln⁡(1)−161+C=59 + 12 \ln(1) - \frac{16}{1} + C = 5

Dado que ln⁡(1)=0\ln(1) = 0:

9+12(0)−16+C=59 + 12(0) - 16 + C = 5
9−16+C=59 - 16 + C = 5
−7+C=5-7 + C = 5
C=5+7C = 5 + 7
C=12C = 12

Por lo tanto, la primitiva de ff cuya gráfica pasa por el punto (3,5)(3, 5) es:

F(x)=3x+12ln⁡∣x−2∣−16x−2+12F(x) = 3x + 12 \ln|x - 2| - \frac{16}{x - 2} + 12