Para que la función sea continua en todo su dominio, debe ser continua en los puntos de cambio de definición, $x = -1$ y $x = 1$. Estudiamos primero la continuidad en $x = -1$:

Igualando los límites laterales para que exista el límite y coincida con $f(-1)$: $-a + \frac{1}{2} = 0 \implies a = \frac{1}{2}$.Ahora estudiamos la continuidad en $x = 1$:

Igualando los límites: $1 - b = \frac{1}{2} \implies b = \frac{1}{2}$.Para estudiar la derivabilidad, calculamos la derivada de la función en los intervalos abiertos con $a = \frac{1}{2}$ y $b = \frac{1}{2}$:

En $x = -1$: $f'(-1^{-}) = \frac{1}{2}$ y $f'(-1^{+}) = \frac{2}{(-1 + 3)^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Como $f'(-1^{-}) = f'(-1^{+})$, la función es derivable en $x = -1$.En $x = 1$: $f'(1^{-}) = \frac{2}{(1 + 3)^2} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$ y $f'(1^{+}) = 2(1) - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$. Como $f'(1^{-}) \neq f'(1^{+})$, la función no es derivable en $x = 1$.

Calculamos la derivada para los valores dados:

Analizamos el signo de la derivada en cada tramo:En $(-\infty, -1)$, $f'(x) = -1 < 0$, por lo que la función es estrictamente decreciente.En $(-1, 1)$, $f'(x) = \frac{2}{(x + 3)^2} > 0$, por lo que la función es estrictamente creciente.En $(1, \infty)$, $f'(x) = 2x - 4$. Igualando a cero, $2x - 4 = 0 \implies x = 2$. En el intervalo $(1, 2)$, $f'(x) < 0$ (decreciente), y en $(2, \infty)$, $f'(x) > 0$ (creciente).

En el intervalo $[1, 2]$, la función está definida por $f(x) = x^2 - 4x$: