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T1: Matrices y determinantes
Cálculo matricial e inversa
Problema
2020 · Ordinaria · Suplente
2
Examen

Se consideran las matrices:

A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ a & -1 & -1 \\ 3 & 0 & -2a \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}
a) Determine para qué valores de aa tiene inversa la matriz AA.b) Para a=2a = 2, calcule la matriz inversa de AA.c) Para a=0a = 0, resuelva la ecuación matricial X⋅A−1−B⋅Bt=I3X \cdot A^{-1} - B \cdot B^t = I_3.
MatricesInversa de una matrizEcuación matricial
a) Determine para qué valores de aa tiene inversa la matriz AA.

Una matriz tiene inversa si y solo si su determinante es no nulo. Calculamos el determinante de AA.

A=(21−1a−1−130−2a)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ a & -1 & -1 \\ 3 & 0 & -2a \end{pmatrix}
\det(A) = 2 \cdot ((-1)(-2a) - (-1)(0)) - 1 \cdot ((a)(-2a) - (-1)(3)) + (-1) \cdot ((a)(0) - (-1)(3))
\det(A) = 2(2a) - 1(-2a^2 + 3) - 1(3)
det⁡(A)=4a+2a2−3−3\det(A) = 4a + 2a^2 - 3 - 3
det⁡(A)=2a2+4a−6\det(A) = 2a^2 + 4a - 6

Para que la matriz AA tenga inversa, el determinante debe ser distinto de cero. Encontramos los valores de aa para los cuales el determinante es cero:

2a2+4a−6=02a^2 + 4a - 6 = 0
a2+2a−3=0a^2 + 2a - 3 = 0

Resolvemos la ecuación cuadrática:

(a+3)(a−1)=0(a+3)(a-1) = 0
a=−3oa=1a = -3 \quad \text{o} \quad a = 1

Por lo tanto, la matriz AA tiene inversa para todos los valores de aa excepto a=−3a=-3 y a=1a=1. Es decir, para a∈R∖{−3,1}a \in \mathbb{R} \setminus \{-3, 1\}.

b) Para a=2a=2, calcule la matriz inversa de AA.

Para a=2a=2, la matriz AA es:

A=(21−12−1−130−4)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & -1 \\ 3 & 0 & -4 \end{pmatrix}

Calculamos el determinante para a=2a=2:

det⁡(A)=2(22)+4(2)−6=2(4)+8−6=8+8−6=10\det(A) = 2(2^2) + 4(2) - 6 = 2(4) + 8 - 6 = 8 + 8 - 6 = 10

Calculamos la matriz de cofactores CC:

C11=+∣−1−10−4∣=4C_{11} = +\begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -4 \end{vmatrix} = 4
C12=−∣2−13−4∣=−(−8−(−3))=5C_{12} = -\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -4 \end{vmatrix} = -(-8 - (-3)) = 5
C13=+∣2−130∣=0−(−3)=3C_{13} = +\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} = 0 - (-3) = 3
C21=−∣1−10−4∣=−(−4−0)=4C_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & -4 \end{vmatrix} = -(-4 - 0) = 4
C22=+∣2−13−4∣=−8−(−3)=−5C_{22} = +\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -4 \end{vmatrix} = -8 - (-3) = -5
C23=−∣2130∣=−(0−3)=3C_{23} = -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} = -(0 - 3) = 3
C31=+∣1−1−1−1∣=−1−1=−2C_{31} = +\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = -1 - 1 = -2
C32=−∣2−12−1∣=−(−2−(−2))=0C_{32} = -\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -(-2 - (-2)) = 0
C33=+∣212−1∣=−2−2=−4C_{33} = +\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -2 - 2 = -4

La matriz de cofactores es:

C=(4534−53−20−4)C = \begin{pmatrix} 4 & 5 & 3 \\ 4 & -5 & 3 \\ -2 & 0 & -4 \end{pmatrix}

La matriz adjunta es la traspuesta de la matriz de cofactores:

Adj(A)=Ct=(44−25−5033−4)\text{Adj}(A) = C^t = \begin{pmatrix} 4 & 4 & -2 \\ 5 & -5 & 0 \\ 3 & 3 & -4 \end{pmatrix}

Finalmente, la inversa de AA es:

A−1=1det⁡(A)Adj(A)=110(44−25−5033−4)A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{Adj}(A) = \frac{1}{10} \begin{pmatrix} 4 & 4 & -2 \\ 5 & -5 & 0 \\ 3 & 3 & -4 \end{pmatrix}
A−1=(2/52/5−1/51/2−1/203/103/10−2/5)A^{-1} = \begin{pmatrix} 2/5 & 2/5 & -1/5 \\ 1/2 & -1/2 & 0 \\ 3/10 & 3/10 & -2/5 \end{pmatrix}
c) Para a=0a=0, resuelva la ecuación matricial X⋅A−1−B⋅Bt=I3X \cdot A^{-1} - B \cdot B^t = I_3.

Para a=0a=0, la matriz AA es:

A=(21−10−1−1300)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & -1 \\ 3 & 0 & 0 \end{pmatrix}

El determinante de AA para a=0a=0 es:

det⁡(A)=2(0)2+4(0)−6=−6\det(A) = 2(0)^2 + 4(0) - 6 = -6

Despejamos XX de la ecuación matricial:

X⋅A−1−B⋅Bt=I3X \cdot A^{-1} - B \cdot B^t = I_3
X⋅A−1=I3+B⋅BtX \cdot A^{-1} = I_3 + B \cdot B^t

Multiplicamos por AA por la derecha en ambos lados:

X⋅A−1⋅A=(I3+B⋅Bt)⋅AX \cdot A^{-1} \cdot A = (I_3 + B \cdot B^t) \cdot A
X=(I3+B⋅Bt)⋅AX = (I_3 + B \cdot B^t) \cdot A

Calculamos B⋅BtB \cdot B^t:

B=(1−1201−2),Bt=(121−10−2)B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}, \quad B^t = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & -2 \end{pmatrix}
B⋅Bt=(1−1201−2)(121−10−2)B \cdot B^t = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & -2 \end{pmatrix}
B⋅Bt=(1(1)+(−1)(−1)1(2)+(−1)(0)1(1)+(−1)(−2)2(1)+0(−1)2(2)+0(0)2(1)+0(−2)1(1)+(−2)(−1)1(2)+(−2)(0)1(1)+(−2)(−2))B \cdot B^t = \begin{pmatrix} 1(1)+(-1)(-1) & 1(2)+(-1)(0) & 1(1)+(-1)(-2) \\ 2(1)+0(-1) & 2(2)+0(0) & 2(1)+0(-2) \\ 1(1)+(-2)(-1) & 1(2)+(-2)(0) & 1(1)+(-2)(-2) \end{pmatrix}
B⋅Bt=(223242325)B \cdot B^t = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 2 \\ 3 & 2 & 5 \end{pmatrix}

Calculamos I3+B⋅BtI_3 + B \cdot B^t:

I3+B⋅Bt=(100010001)+(223242325)=(323252326)I_3 + B \cdot B^t = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 2 \\ 3 & 2 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 2 \\ 3 & 2 & 6 \end{pmatrix}

Finalmente, calculamos X=(I3+B⋅Bt)⋅AX = (I_3 + B \cdot B^t) \cdot A:

X=(323252326)(21−10−1−1300)X = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 2 \\ 3 & 2 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & -1 \\ 3 & 0 & 0 \end{pmatrix}
X=(3(2)+2(0)+3(3)3(1)+2(−1)+3(0)3(−1)+2(−1)+3(0)2(2)+5(0)+2(3)2(1)+5(−1)+2(0)2(−1)+5(−1)+2(0)3(2)+2(0)+6(3)3(1)+2(−1)+6(0)3(−1)+2(−1)+6(0))X = \begin{pmatrix} 3(2)+2(0)+3(3) & 3(1)+2(-1)+3(0) & 3(-1)+2(-1)+3(0) \\ 2(2)+5(0)+2(3) & 2(1)+5(-1)+2(0) & 2(-1)+5(-1)+2(0) \\ 3(2)+2(0)+6(3) & 3(1)+2(-1)+6(0) & 3(-1)+2(-1)+6(0) \end{pmatrix}
X=(6+0+93−2+0−3−2+04+0+62−5+0−2−5+06+0+183−2+0−3−2+0)X = \begin{pmatrix} 6+0+9 & 3-2+0 & -3-2+0 \\ 4+0+6 & 2-5+0 & -2-5+0 \\ 6+0+18 & 3-2+0 & -3-2+0 \end{pmatrix}
X=(151−510−3−7241−5)X = \begin{pmatrix} 15 & 1 & -5 \\ 10 & -3 & -7 \\ 24 & 1 & -5 \end{pmatrix}