T1: Interacción gravitatoria

Órbitas de satélites

Teoría

2017 · Ordinaria · Reserva

1B-a

a) Discuta la veracidad de la siguiente afirmación: “Cuanto mayor sea la altura de la órbita de un satélite sobre la superficie terrestre, mayor es su energía mecánica y, por tanto, mayores serán tanto la energía cinética como la energía potencial del satélite”.

Energía mecánicaEnergía cinéticaEnergía potencial+1

a) Análisis de la afirmación sobre la energía de un satélite en órbita circular

Para un satélite de masa $m$ en órbita circular de radio $r$ alrededor de la Tierra (masa $M$ ), la condición de órbita circular exige que la fuerza gravitatoria proporcione la fuerza centrípeta:

\frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r}

1. Energía cinética

De la condición de órbita circular se obtiene la velocidad orbital y la energía cinética:

v^2 = \frac{GM}{r} \implies E_c = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{2r}

Como $r$ está en el denominador, al aumentar $r$ (mayor altura), la energía cinética $E_c = \dfrac{GMm}{2r}$ DISMINUYE. El satélite se mueve más despacio cuanto más alejado está.

2. Energía potencial gravitatoria

E_p = -\frac{GMm}{r}

La energía potencial es negativa y su valor absoluto disminuye al aumentar $r$ . Es decir, $E_p$ aumenta (se hace menos negativa) al crecer $r$ . Por tanto, la afirmación es CORRECTA para la energía potencial.

3. Energía mecánica total

E_{mec} = E_c + E_p = \frac{GMm}{2r} - \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{2r}

La energía mecánica total es negativa. Al aumentar $r$ , el valor absoluto disminuye, por lo que $E_{mec}$ aumenta (se hace menos negativa). Por tanto, la afirmación es CORRECTA al decir que mayor altura implica mayor energía mecánica (menos negativa).

Conclusión

La afirmación es PARCIALMENTE VERDADERA:

✓ VERDADERO: A mayor altura (

r

mayor), la energía mecánica total

E_{mec} = -\dfrac{GMm}{2r}

aumenta (es menos negativa).✓ VERDADERO: A mayor altura, la energía potencial

E_p = -\dfrac{GMm}{r}

también aumenta (se hace menos negativa, tendiendo a cero).✗ FALSO: La energía cinética

E_c = \dfrac{GMm}{2r}

DISMINUYE al aumentar la altura, ya que el satélite necesita menor velocidad orbital cuanto más alejado está de la Tierra. Esto contradice la afirmación original.

Además, existe una relación cuantitativa notable entre las tres energías: $E_c = -\dfrac{1}{2}E_p$ y $E_{mec} = -E_c$ , conocida como el teorema del virial aplicado a la gravitación.