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T1: Interacción gravitatoria
Campo y potencial gravitatorio
Problema
2023 · Extraordinaria · Titular
A2-b
Examen
b) Dos masas de 5 kg5 \text{ kg} se encuentran en los puntos A(0,2)A(0,2) y B(2,0) mB(2,0) \text{ m}. Determine razonadamente: i) el valor de la intensidad del campo gravitatorio en el punto C(0,0) mC(0,0) \text{ m}; ii) el potencial gravitatorio en el mismo punto; iii) el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria para desplazar una masa de 3 kg3 \text{ kg} desde CC hasta el punto D(2,2) mD(2,2) \text{ m}. Justifique el resultado obtenido.

Dato: G=6,67⋅10−11 N⋅m2/kg2G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2

Intensidad de campoPotencial gravitatorioTrabajo
XYmA (0,2)mB (2,0)C (0,0)g1g2g_neta
i) Para calcular la intensidad del campo gravitatorio en el punto C(0,0)C(0,0), aplicamos el principio de superposición, sumando vectorialmente los campos creados por las masas en AA y BB. La expresión general del campo es:
g⃗=∑Gmiri2u⃗i\vec{g} = \sum G \frac{m_i}{r_i^2} \vec{u}_i

Calculamos los vectores unitarios desde CC hacia las masas (ya que el campo gravitatorio es atractivo):

u⃗A=(0,2)−(0,0)2=j⃗;u⃗B=(2,0)−(0,0)2=i⃗\vec{u}_A = \frac{(0,2) - (0,0)}{2} = \vec{j} \quad ; \quad \vec{u}_B = \frac{(2,0) - (0,0)}{2} = \vec{i}

Calculamos el campo producido por cada masa en el origen CC:

g⃗A=6,67⋅10−11522j⃗=8,3375⋅10−11j⃗ N⋅kg−1\vec{g}_A = 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{5}{2^2} \vec{j} = 8,3375 \cdot 10^{-11} \vec{j} \text{ N} \cdot \text{kg}^{-1}
g⃗B=6,67⋅10−11522i⃗=8,3375⋅10−11i⃗ N⋅kg−1\vec{g}_B = 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{5}{2^2} \vec{i} = 8,3375 \cdot 10^{-11} \vec{i} \text{ N} \cdot \text{kg}^{-1}

La intensidad del campo total en CC es:

g⃗C=(8,34⋅10−11i⃗+8,34⋅10−11j⃗) N⋅kg−1\vec{g}_C = (8,34 \cdot 10^{-11} \vec{i} + 8,34 \cdot 10^{-11} \vec{j}) \text{ N} \cdot \text{kg}^{-1}
ii) El potencial gravitatorio es una magnitud escalar que se calcula como la suma de los potenciales individuales:
V=∑−GmiriV = \sum -G \frac{m_i}{r_i}

Sustituyendo los valores para el punto CC:

VC=−6,67⋅10−11(52+52)=−6,67⋅10−11⋅5=−3,335⋅10−10 J⋅kg−1V_C = -6,67 \cdot 10^{-11} \left( \frac{5}{2} + \frac{5}{2} \right) = -6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 5 = -3,335 \cdot 10^{-10} \text{ J} \cdot \text{kg}^{-1}
iii) El trabajo realizado por la fuerza gravitatoria (fuerza conservativa) se define como la variación negativa de la energía potencial:
WC→D=−ΔEp=−(Ep,D−Ep,C)=m(VC−VD)W_{C \to D} = - \Delta E_p = -(E_{p,D} - E_{p,C}) = m (V_C - V_D)

Primero, calculamos las distancias del punto D(2,2)D(2,2) a las masas en A(0,2)A(0,2) y B(2,0)B(2,0):

rAD=(2−0)2+(2−2)2=2 m;rBD=(2−2)2+(2−0)2=2 mr_{AD} = \sqrt{(2-0)^2 + (2-2)^2} = 2 \text{ m} \quad ; \quad r_{BD} = \sqrt{(2-2)^2 + (2-0)^2} = 2 \text{ m}

Calculamos el potencial en DD:

VD=−G(mArAD+mBrBD)=−G(52+52)=−3,335⋅10−10 J⋅kg−1V_D = -G \left( \frac{m_A}{r_{AD}} + \frac{m_B}{r_{BD}} \right) = -G \left( \frac{5}{2} + \frac{5}{2} \right) = -3,335 \cdot 10^{-10} \text{ J} \cdot \text{kg}^{-1}

Como el potencial en el punto inicial CC y el punto final DD es el mismo (VC=VDV_C = V_D), el trabajo realizado por el campo es nulo:

WC→D=3 kg⋅(−3,335⋅10−10−(−3,335⋅10−10))=0 JW_{C \to D} = 3 \text{ kg} \cdot (-3,335 \cdot 10^{-10} - (-3,335 \cdot 10^{-10})) = 0 \text{ J}

Justificación: Al ser el campo gravitatorio un campo conservativo, el trabajo no depende del camino seguido, sino solo de los puntos inicial y final. Al encontrarse CC y DD a la misma distancia de la distribución de masas, son puntos equipotenciales y el trabajo neto realizado por el campo es cero.