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T2: Interacción electromagnética
Movimiento circular en campo magnético
Problema
2016 · Extraordinaria · Reserva
3A-b
Examen

Una partícula alfa, con una energía cinética de 2 MeV2 \text{ MeV}, se mueve en una región en la que existe un campo magnético uniforme de 5 T5 \text{ T}, perpendicular a su velocidad.

b) Razone que la trayectoria descrita es circular y determine su radio y el periodo de movimiento.

Datos: e=1,6⋅10−19 C;malfa=6,7⋅10−27 kge = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C} ; m_{alfa} = 6,7 \cdot 10^{-27} \text{ kg}

Radio de curvaturaPeriodoFuerza centrípeta

Una partícula alfa tiene carga q=2e=2×1,6⋅10−19=3,2⋅10−19q = 2e = 2 \times 1{,}6 \cdot 10^{-19} = 3{,}2 \cdot 10^{-19} C y masa m=6,7⋅10−27m = 6{,}7 \cdot 10^{-27} kg.

b) Razonamiento de la trayectoria circular, radio y periodo:
Razonamiento de la trayectoria circular

La fuerza que actúa sobre la partícula es la fuerza de Lorentz:

F⃗=qv⃗×B⃗\vec{F} = q\vec{v} \times \vec{B}

Como el campo magnético B⃗\vec{B} es perpendicular a la velocidad v⃗\vec{v} en todo momento, la fuerza magnética es siempre perpendicular a la velocidad. Esto implica que:

- La fuerza no realiza trabajo, por lo que el módulo de la velocidad no varía (la energía cinética es constante).- La fuerza actúa permanentemente en dirección perpendicular al movimiento, desviando la partícula sin cambiar su rapidez.

Estas condiciones son exactamente las de un movimiento circular uniforme: la fuerza de Lorentz actúa como fuerza centrípeta. Por tanto, la trayectoria es circular.

B (entrante)⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗+vF
Cálculo del radio

Igualando la fuerza magnética con la fuerza centrípeta:

qvB=mv2r  ⟹  r=mvqBqvB = \frac{mv^2}{r} \implies r = \frac{mv}{qB}

Primero obtenemos la velocidad a partir de la energía cinética Ek=2E_k = 2 MeV =2×106×1,6⋅10−19= 2 \times 10^6 \times 1{,}6 \cdot 10^{-19} J =3,2⋅10−13= 3{,}2 \cdot 10^{-13} J:

Ek=12mv2  ⟹  v=2Ekm=2×3,2⋅10−136,7⋅10−27E_k = \frac{1}{2}mv^2 \implies v = \sqrt{\frac{2E_k}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 3{,}2 \cdot 10^{-13}}{6{,}7 \cdot 10^{-27}}}
v=6,4⋅10−136,7⋅10−27=9,55⋅1013≈9,77⋅106 m/sv = \sqrt{\frac{6{,}4 \cdot 10^{-13}}{6{,}7 \cdot 10^{-27}}} = \sqrt{9{,}55 \cdot 10^{13}} \approx 9{,}77 \cdot 10^6 \text{ m/s}

Ahora calculamos el radio:

r=mvqB=6,7⋅10−27×9,77⋅1063,2⋅10−19×5r = \frac{mv}{qB} = \frac{6{,}7 \cdot 10^{-27} \times 9{,}77 \cdot 10^{6}}{3{,}2 \cdot 10^{-19} \times 5}
r=6,546⋅10−201,6⋅10−18≈0,0409 m≈4,09⋅10−2 mr = \frac{6{,}546 \cdot 10^{-20}}{1{,}6 \cdot 10^{-18}} \approx 0{,}0409 \text{ m} \approx 4{,}09 \cdot 10^{-2} \text{ m}
Cálculo del periodo

El periodo del movimiento circular uniforme es:

T=2πrv=2πmqBT = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi m}{qB}

Nótese que el periodo no depende de la velocidad (ni de la energía cinética), solo de la masa, la carga y el campo magnético:

T=2πmqB=2π×6,7⋅10−273,2⋅10−19×5T = \frac{2\pi m}{qB} = \frac{2\pi \times 6{,}7 \cdot 10^{-27}}{3{,}2 \cdot 10^{-19} \times 5}
T=4,210⋅10−261,6⋅10−18≈2,63⋅10−8 sT = \frac{4{,}210 \cdot 10^{-26}}{1{,}6 \cdot 10^{-18}} \approx 2{,}63 \cdot 10^{-8} \text{ s}

En resumen: el radio de la trayectoria circular es r≈4,09⋅10−2r \approx 4{,}09 \cdot 10^{-2} m y el periodo es T≈2,63⋅10−8T \approx 2{,}63 \cdot 10^{-8} s.