T1: Interacción gravitatoria · Energía — FISICA PEvAU Andaluc%C3%ADa 2019

Energía

Problema

2019 · Extraordinaria · Titular

1A-b

b) Se quiere subir un objeto de

1000 \text{ kg}

una altura de

40 \text{ m}

usando una rampa que presenta un coeficiente de rozamiento con el objeto de

0,3

. Calcule: i) El trabajo necesario para ello si la rampa forma un ángulo de

10^{\circ}

con la horizontal. ii) El trabajo necesario si la rampa forma un ángulo de

20^{\circ}

. Justifique la diferencia encontrada en ambos casos.

Dato: $g = 9,8 \text{ m s}^{-2}$

TrabajoRampaRozamiento

b) Para calcular el trabajo necesario para subir el objeto por la rampa, consideramos las fuerzas que actúan sobre el objeto y el desplazamiento. El trabajo total necesario es la suma del trabajo realizado para vencer la fuerza de la gravedad y el trabajo realizado para vencer la fuerza de rozamiento.

Datos:

m = 1000 \text{ kg}

h = 40 \text{ m}

\mu_k = 0,3

g = 9,8 \text{ m/s}^2

Las fuerzas que actúan sobre el objeto en un plano inclinado son el peso (P), la fuerza normal (N) y la fuerza de rozamiento ( $F_r$ ). Descomponemos el peso en sus componentes paralela y perpendicular al plano.

La distancia recorrida a lo largo de la rampa ( $d$ ) está relacionada con la altura ( $h$ ) y el ángulo ( $\alpha$ ) por la expresión:

d = \frac{h}{\sin\alpha}

La fuerza normal ( $N$ ) sobre el objeto es:

N = mg\cos\alpha

La fuerza de rozamiento cinético ( $F_r$ ) es:

F_r = \mu_k N = \mu_k mg\cos\alpha

El trabajo necesario ( $W_{total}$ ) para subir el objeto a una velocidad constante (o despreciando cambios en energía cinética) es la suma del trabajo realizado contra la gravedad ( $W_g$ ) y el trabajo realizado contra el rozamiento ( $W_r$ ). Consideramos el trabajo como el realizado por el agente externo para subir el objeto, por lo tanto, positivo.

W_{total} = W_g + W_r

El trabajo contra la gravedad es:

W_g = mgh

El trabajo contra el rozamiento es:

W_r = F_r \cdot d = (\mu_k mg\cos\alpha) \cdot \left(\frac{h}{\sin\alpha}\right) = \mu_k mgh \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \mu_k mgh \cot\alpha

Por lo tanto, el trabajo total necesario es:

W_{total} = mgh + \mu_k mgh \cot\alpha = mgh (1 + \mu_k \cot\alpha)

Primero, calculamos el trabajo contra la gravedad, que es constante para ambos casos:

W_g = 1000 \text{ kg} \cdot 9,8 \text{ m/s}^2 \cdot 40 \text{ m} = 392000 \text{ J}

i) Trabajo necesario si la rampa forma un ángulo de

10^{\circ}

con la horizontal.

\alpha = 10^{\circ}

\cot(10^{\circ}) \approx 5,6713

W_{total,10^{\circ}} = mgh (1 + \mu_k \cot(10^{\circ}))

W_{total,10^{\circ}} = 392000 \text{ J} \cdot (1 + 0,3 \cdot 5,6713)

W_{total,10^{\circ}} = 392000 \text{ J} \cdot (1 + 1,70139)

W_{total,10^{\circ}} = 392000 \text{ J} \cdot 2,70139 \approx 1058945,68 \text{ J}

\boxed{W_{total,10^{\circ}} \approx 1,06 \times 10^6 \text{ J}}

ii) Trabajo necesario si la rampa forma un ángulo de

20^{\circ}

\alpha = 20^{\circ}

\cot(20^{\circ}) \approx 2,7475

W_{total,20^{\circ}} = mgh (1 + \mu_k \cot(20^{\circ}))

W_{total,20^{\circ}} = 392000 \text{ J} \cdot (1 + 0,3 \cdot 2,7475)

W_{total,20^{\circ}} = 392000 \text{ J} \cdot (1 + 0,82425)

W_{total,20^{\circ}} = 392000 \text{ J} \cdot 1,82425 \approx 715006 \text{ J}

\boxed{W_{total,20^{\circ}} \approx 7,15 \times 10^5 \text{ J}}

Justificación de la diferencia:Observamos que el trabajo necesario es menor cuando la rampa tiene un ángulo de $20^{\circ}$ que cuando tiene un ángulo de $10^{\circ}$ .El trabajo total ( $W_{total} = W_g + W_r$ ) se compone de dos partes:

1. Trabajo contra la gravedad (

W_g = mgh

): Esta componente del trabajo es independiente del ángulo de la rampa, ya que solo depende de la masa del objeto, la gravedad y la altura vertical alcanzada. Por lo tanto, es el mismo en ambos casos (

392000 \text{ J}

). 2. Trabajo contra el rozamiento (

W_r = \mu_k mgh \cot\alpha

): Esta componente sí depende del ángulo de la rampa.

Cuando el ángulo de la rampa aumenta de $10^{\circ}$ a $20^{\circ}$ :

a) La distancia recorrida a lo largo de la rampa (

d = h/\sin\alpha

) disminuye. A un ángulo mayor, la rampa es más "corta" en longitud.b) La fuerza normal (

N = mg\cos\alpha

) disminuye ligeramente, ya que

\cos\alpha

disminuye para

\alpha \in (0^{\circ}, 90^{\circ})

. Esto hace que la fuerza de rozamiento (

F_r = \mu_k N

) también disminuya.

Ambos factores, la disminución de la distancia y la disminución de la fuerza de rozamiento, contribuyen a una reducción significativa del trabajo realizado contra el rozamiento ( $W_r = F_r \cdot d$ ). En particular, el término $\cot\alpha$ disminuye a medida que $\alpha$ aumenta (de $5,6713$ para $10^{\circ}$ a $2,7475$ para $20^{\circ}$ ). Por lo tanto, al aumentar el ángulo de la rampa, el trabajo necesario para vencer el rozamiento se reduce considerablemente, lo que resulta en un trabajo total menor para subir el objeto.