T2: Interacción electromagnética

Energía y potencial eléctrico

Problema

2017 · Ordinaria · Titular

2B-b

b) Se coloca una carga puntual de

4 \cdot 10^{-9} \text{ C}

en el origen de coordenadas y otra carga puntual de

-3 \cdot 10^{-9} \text{ C}

en el punto

(0,1) \text{ m}

. Calcule el trabajo que hay que realizar para trasladar una carga de

2 \cdot 10^{-9} \text{ C}

desde el punto

(1,2) \text{ m}

hasta el punto

(2,2) \text{ m}

Dato: $K = 9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-2}$

Trabajo eléctricoEnergía potencialPotencial eléctrico

El trabajo realizado para trasladar una carga $q_3$ entre dos puntos A y B en un campo eléctrico es:

W_{A \to B} = q_3 \cdot (V_A - V_B)

donde $V_A$ y $V_B$ son los potenciales eléctricos en los puntos A $(1,2)$ m y B $(2,2)$ m respectivamente, creados por las cargas $q_1$ y $q_2$ .

Cálculo de distancias desde cada carga fija hasta el punto A(1,2)

Distancia de $q_1$ (origen) al punto A $(1,2)$ :

r_{1A} = \sqrt{(1-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5} \text{ m}

Distancia de $q_2$ $(0,1)$ al punto A $(1,2)$ :

r_{2A} = \sqrt{(1-0)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2} \text{ m}

Cálculo de distancias desde cada carga fija hasta el punto B(2,2)

Distancia de $q_1$ (origen) al punto B $(2,2)$ :

r_{1B} = \sqrt{(2-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{4+4} = 2\sqrt{2} \text{ m}

Distancia de $q_2$ $(0,1)$ al punto B $(2,2)$ :

r_{2B} = \sqrt{(2-0)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5} \text{ m}

Potencial en el punto A(1,2)

V_A = K \cdot \frac{q_1}{r_{1A}} + K \cdot \frac{q_2}{r_{2A}}

V_A = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{4 \cdot 10^{-9}}{\sqrt{5}} + 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{-3 \cdot 10^{-9}}{\sqrt{2}}

V_A = \frac{36}{\sqrt{5}} + \frac{-27}{\sqrt{2}} = \frac{36}{2{,}236} - \frac{27}{1{,}414}

V_A = 16{,}10 - 19{,}09 = -2{,}99 \text{ V}

Potencial en el punto B(2,2)

V_B = K \cdot \frac{q_1}{r_{1B}} + K \cdot \frac{q_2}{r_{2B}}

V_B = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{4 \cdot 10^{-9}}{2\sqrt{2}} + 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{-3 \cdot 10^{-9}}{\sqrt{5}}

V_B = \frac{36}{2\sqrt{2}} + \frac{-27}{\sqrt{5}} = \frac{36}{2{,}828} - \frac{27}{2{,}236}

V_B = 12{,}73 - 12{,}07 = 0{,}66 \text{ V}

Cálculo del trabajo

W_{A \to B} = q_3 \cdot (V_A - V_B) = 2 \cdot 10^{-9} \cdot (-2{,}99 - 0{,}66)

W_{A \to B} = 2 \cdot 10^{-9} \cdot (-3{,}65)

\boxed{W_{A \to B} \approx -7{,}3 \cdot 10^{-9} \text{ J}}

El trabajo que hay que realizar es aproximadamente $-7{,}3 \cdot 10^{-9}$ J. El signo negativo indica que el campo eléctrico realiza trabajo positivo sobre la carga al desplazarse de A a B, por lo que el agente externo debe realizar trabajo negativo (la carga se mueve espontáneamente en esa dirección).