T3: Vibraciones y ondas · Ondas — FISICA PEvAU Andaluc%C3%ADa 2018

Ondas

Problema

2018 · Extraordinaria · Titular

3B-b

Dada la onda de ecuación: $y(x,t) = 4 \text{ sen}(10\pi t - 0,1\pi x) \text{ (SI)}$ .

b) Determine razonadamente: (i) La velocidad y el sentido de propagación de la onda; (ii) el instante en el que un punto que dista

5 \text{ cm}

del origen alcanza su velocidad de máxima vibración.

Ecuación de ondaVelocidad máximaCinemática de ondas

La ecuación de la onda es $y(x,t) = 4\,\text{sen}(10\pi t - 0{,}1\pi x)$ (SI), por lo que identificamos:

A = 4\text{ m}, \quad \omega = 10\pi\text{ rad/s}, \quad k = 0{,}1\pi\text{ rad/m}

b)(i) Velocidad y sentido de propagación

La velocidad de propagación de una onda se calcula como:

v = \frac{\omega}{k}

Sustituyendo los valores:

v = \frac{10\pi}{0{,}1\pi} = 100\text{ m/s}

El sentido de propagación se determina por el signo del término $(\omega t - kx)$ . Como el argumento es $(10\pi t - 0{,}1\pi x)$ , el signo entre ambos términos es negativo, lo que indica que la onda se propaga en el sentido positivo del eje $x$ (hacia la derecha).

b)(ii) Instante en el que el punto

x = 5

= 0{,}05

m alcanza su velocidad de máxima vibración

La velocidad de vibración de un punto (velocidad transversal) se obtiene derivando $y(x,t)$ respecto al tiempo:

v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = 4 \cdot 10\pi \cdot \cos(10\pi t - 0{,}1\pi x) = 40\pi\,\cos(10\pi t - 0{,}1\pi x)

La velocidad de vibración es máxima cuando el coseno vale $\pm 1$ , es decir:

\cos(10\pi t - 0{,}1\pi x) = \pm 1 \implies 10\pi t - 0{,}1\pi x = n\pi, \quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots

Para el punto $x = 0{,}05$ m (es decir, 5 cm), sustituimos:

10\pi\, t - 0{,}1\pi \cdot 0{,}05 = n\pi

10\pi\, t - 0{,}005\pi = n\pi

10\pi\, t = n\pi + 0{,}005\pi

t = \frac{n\pi + 0{,}005\pi}{10\pi} = \frac{n + 0{,}005}{10}

El primer instante positivo corresponde a $n = 0$ :

t = \frac{0 + 0{,}005}{10} = 5 \times 10^{-4}\text{ s} = 0{,}5\text{ ms}

Los instantes sucesivos se obtienen sumando el período $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{10\pi} = 0{,}2\text{ s}$ cada vez, pero el primer instante en que el punto $x = 0{,}05$ m alcanza su velocidad de vibración máxima es:

t = 5 \times 10^{-4}\text{ s}