T1: Interacción gravitatoria · Campo gravitatorio — FISICA PEvAU Andaluc%C3%ADa 2016

Campo gravitatorio

Problema

2016 · Extraordinaria · Suplente

3B-a

La masa de la Tierra es aproximadamente $81$ veces la masa de la Luna y la distancia entre sus centros es de $3,84 \cdot 10^{5} \text{ km}$ .

a) Deduzca la expresión de la velocidad orbital de un satélite en torno a un planeta y calcule el período de revolución de la Luna alrededor de la Tierra.

Datos: $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N m}^{2} \text{ kg}^{-2}$ ; $M_{T} = 6 \cdot 10^{24} \text{ kg}$

Velocidad orbitalPeriodo de revolución

a) Deducción de la velocidad orbital y cálculo del período de la Luna

Para que un satélite de masa $m$ se mantenga en órbita circular alrededor de un planeta de masa $M$ , la fuerza gravitatoria proporciona la fuerza centrípeta necesaria:

F_{grav} = F_{c} \Rightarrow \frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r}

Simplificando la masa $m$ del satélite y despejando la velocidad orbital $v$ :

\frac{GM}{r^2} = \frac{v^2}{r} \Rightarrow v^2 = \frac{GM}{r} \Rightarrow \boxed{v = \sqrt{\frac{GM}{r}}}

Esta es la expresión general de la velocidad orbital de un satélite a distancia $r$ del centro del planeta.

Cálculo del período de revolución de la Luna

El período orbital $T$ es el tiempo que tarda el satélite en recorrer la circunferencia completa de radio $r$ , es decir, la distancia $2\pi r$ a velocidad $v$ :

T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi r}{\sqrt{\dfrac{GM}{r}}} = 2\pi r \cdot \sqrt{\frac{r}{GM}} = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}

Datos del problema:

r = 3{,}84 \cdot 10^{5} \text{ km} = 3{,}84 \cdot 10^{8} \text{ m}

M_T = 6 \cdot 10^{24} \text{ kg}

G = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2}

Sustituyendo:

T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM_T}}

Calculamos primero el numerador del radicando:

r^3 = (3{,}84 \cdot 10^{8})^3 = 56{,}62 \cdot 10^{24} = 5{,}662 \cdot 10^{25} \text{ m}^3

Calculamos el denominador:

GM_T = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \times 6 \cdot 10^{24} = 40{,}02 \cdot 10^{13} = 4{,}002 \cdot 10^{14} \text{ m}^3 \text{s}^{-2}

El cociente bajo la raíz:

\frac{r^3}{GM_T} = \frac{5{,}662 \cdot 10^{25}}{4{,}002 \cdot 10^{14}} = 1{,}414 \cdot 10^{11} \text{ s}^2

Tomando la raíz cuadrada:

\sqrt{1{,}414 \cdot 10^{11}} = 3{,}761 \cdot 10^{5} \text{ s}

Finalmente:

T = 2\pi \times 3{,}761 \cdot 10^{5} = 2{,}363 \cdot 10^{6} \text{ s}

Convirtiendo a días:

T = \frac{2{,}363 \cdot 10^{6}}{86400} \approx 27{,}3 \text{ días}

El período de revolución de la Luna alrededor de la Tierra es aproximadamente $T \approx 2{,}36 \cdot 10^{6} \text{ s} \approx 27{,}3 \text{ días}$ , resultado que coincide con el valor real conocido.