T5: Integrales · Cálculo de primitivas — MATEMATICAS II PEvAU Andaluc%C3%ADa 2023

Cálculo de primitivas

Problema

2023 · Extraordinaria · Reserva

Considera la función $f : [0, +\infty) \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = \cos(\sqrt{x})$ . Calcula, si es posible, una primitiva de $f$ cuya gráfica pase por el punto $(0, 5)$ . Sugerencia: haz el cambio $t = \sqrt{x}$ .

Cambio de variablePrimitivaIntegración

Cálculo de una primitiva de la función $f(x) = \cos(\sqrt{x})$

Para encontrar la primitiva general de la función $f(x) = \cos(\sqrt{x})$ , comenzamos realizando el cambio de variable sugerido $t = \sqrt{x}$ .

t = \sqrt{x} \implies t^2 = x \implies dx = 2t \, dt

Sustituimos estas expresiones en la integral indefinida:

\int \cos(\sqrt{x}) \, dx = \int \cos(t) \cdot 2t \, dt = 2 \int t \cos(t) \, dt

Para resolver la integral $\int t \cos(t) \, dt$ , aplicamos el método de integración por partes, eligiendo:

u = t \implies du = dt

dv = \cos(t) \, dt \implies v = \sin(t)

Aplicando la fórmula $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ , obtenemos:

\int t \cos(t) \, dt = t \sin(t) - \int \sin(t) \, dt = t \sin(t) - (-\cos(t)) = t \sin(t) + \cos(t)

Por lo tanto, la primitiva general en términos de $t$ es:

F(t) = 2(t \sin(t) + \cos(t)) + C

Deshacemos el cambio de variable volviendo a $x$ mediante $t = \sqrt{x}$ :

F(x) = 2\sqrt{x} \sin(\sqrt{x}) + 2\cos(\sqrt{x}) + C

Se nos pide que la gráfica de la primitiva pase por el punto $(0, 5)$ , lo que implica que $F(0) = 5$ :

F(0) = 2\sqrt{0} \sin(\sqrt{0}) + 2\cos(\sqrt{0}) + C = 5

2(0) \cdot 0 + 2(1) + C = 5 \implies 2 + C = 5 \implies C = 3

Finalmente, la primitiva buscada es:

F(x) = 2\sqrt{x} \sin(\sqrt{x}) + 2\cos(\sqrt{x}) + 3