T1: Matrices y determinantes · Ecuaciones matriciales — MATEMATICAS II PEvAU Andaluc%C3%ADa 2022

Ecuaciones matriciales

Problema

2022 · Ordinaria · Suplente

EJERCICIO 6

Dado $a \neq 0$ , considera las matrices $A = \begin{pmatrix} -a & 3 \\ a & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ .

a) Determina para qué valores de

a

se cumple que

A^{-1} = \frac{1}{4} A

.b) Para

a = 1

calcula, si es posible, la matriz

X

tal que

A X = B^t

, donde

B^t

denota la matriz traspuesta de

B

Matriz inversaMatriz traspuesta

a) Determina para qué valores de

a

se cumple que

A^{-1} = \frac{1}{4} A

Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} -a & 3 \\ a & 1 \end{pmatrix}$ , su determinante es:

\det(A) = (-a)(1) - (3)(a) = -a - 3a = -4a

Dado que $a \neq 0$ , el determinante es distinto de cero, por lo que la matriz $A$ es invertible.La matriz inversa de $A$ es $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{Adj}(A)^t$ . Primero calculamos la matriz adjunta de $A$ :

\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & -a \\ -3 & -a \end{pmatrix}

La traspuesta de la matriz adjunta es:

\text{Adj}(A)^t = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -a & -a \end{pmatrix}

Ahora, calculamos $A^{-1}$ :

A^{-1} = \frac{1}{-4a} \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -a & -a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{4a} & \frac{3}{4a} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}

Por otro lado, calculamos $\frac{1}{4} A$ :

\frac{1}{4} A = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} -a & 3 \\ a & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{a}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{a}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}

Para que se cumpla $A^{-1} = \frac{1}{4} A$ , debemos igualar los elementos de ambas matrices:

\begin{pmatrix} -\frac{1}{4a} & \frac{3}{4a} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{a}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{a}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}

Igualando los elementos obtenemos las siguientes ecuaciones:

\begin{cases} -\frac{1}{4a} = -\frac{a}{4} \Rightarrow 1 = a^2 \Rightarrow a = \pm 1 \\ \frac{3}{4a} = \frac{3}{4} \Rightarrow 3 = 3a \Rightarrow a = 1 \\ \frac{1}{4} = \frac{a}{4} \Rightarrow a = 1 \\ \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \end{cases}

Para que todas las condiciones se cumplan simultáneamente, el valor de $a$ debe ser $1$ .

b) Para

a = 1

calcula, si es posible, la matriz

X

tal que

A X = B^t

, donde

B^t

denota la matriz traspuesta de

B

Para $a=1$ , la matriz $A$ es $A = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ . La matriz $B$ es $B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ .La matriz traspuesta de $B$ es $B^t = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ -1 & 4 & 2 \end{pmatrix}$ .Tenemos la ecuación matricial $A X = B^t$ . Como $A$ es invertible (su determinante para $a=1$ es $-4 \neq 0$ ), podemos multiplicar por $A^{-1}$ por la izquierda:

A^{-1} A X = A^{-1} B^t \Rightarrow I X = A^{-1} B^t \Rightarrow X = A^{-1} B^t

Para $a=1$ , la matriz $A^{-1}$ calculada en el apartado anterior es:

A^{-1} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}

Ahora, calculamos $X = A^{-1} B^t$ :

X = \begin{pmatrix} -\frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ -1 & 4 & 2 \end{pmatrix}

X = \begin{pmatrix} \left(-\frac{1}{4}\right)(1) + \left(\frac{3}{4}\right)(-1) & \left(-\frac{1}{4}\right)(3) + \left(\frac{3}{4}\right)(4) & \left(-\frac{1}{4}\right)(1) + \left(\frac{3}{4}\right)(2) \\ \left(\frac{1}{4}\right)(1) + \left(\frac{1}{4}\right)(-1) & \left(\frac{1}{4}\right)(3) + \left(\frac{1}{4}\right)(4) & \left(\frac{1}{4}\right)(1) + \left(\frac{1}{4}\right)(2) \end{pmatrix}

X = \begin{pmatrix} -\frac{1}{4} - \frac{3}{4} & -\frac{3}{4} + \frac{12}{4} & -\frac{1}{4} + \frac{6}{4} \\ \frac{1}{4} - \frac{1}{4} & \frac{3}{4} + \frac{4}{4} & \frac{1}{4} + \frac{2}{4} \end{pmatrix}

X = \begin{pmatrix} -\frac{4}{4} & \frac{9}{4} & \frac{5}{4} \\ 0 & \frac{7}{4} & \frac{3}{4} \end{pmatrix}

X = \begin{pmatrix} -1 & \frac{9}{4} & \frac{5}{4} \\ 0 & \frac{7}{4} & \frac{3}{4} \end{pmatrix}