T6: Teoría de muestras · Muestreo estratificado y muestreo aleatorio simple — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andaluc%C3%ADa 2020

Muestreo estratificado y muestreo aleatorio simple

Problema

2020 · Extraordinaria · Titular

BLOQUE D

a) Una población de 25 000 personas se ha dividido en cuatro estratos con tamaños 15 000, 5 000, 3 000 y 2 000 personas respectivamente. En esa población se ha realizado un muestreo estratificado con afijación proporcional, en el que se han elegido al azar 36 personas del tercer estrato. Determine el tamaño de la muestra total obtenida con este muestreo y su composición.b) Dada la población

P = \{2, 4, 6\}

, construya todas las muestras posibles de tamaño 2 que se puedan formar mediante muestreo aleatorio simple y halle la desviación típica de las medias muestrales obtenidas con todas esas muestras.

MuestreoEstadísticaPoblación

Resolución de problemas de muestreo estadístico

En un muestreo estratificado con afijación proporcional, el tamaño de la muestra de cada estrato $n_i$ es proporcional al tamaño del estrato correspondiente $N_i$ . La constante de proporcionalidad viene dada por la relación entre el tamaño total de la muestra $n$ y el tamaño total de la población $N$ :

\frac{n_1}{N_1} = \frac{n_2}{N_2} = \frac{n_3}{N_3} = \frac{n_4}{N_4} = \frac{n}{N}

A partir de los datos conocidos para el tercer estrato ( $N_3 = 3000$ y $n_3 = 36$ ) y el tamaño total de la población ( $N = 25000$ ), calculamos el tamaño de la muestra total $n$ :

\frac{n}{25000} = \frac{36}{3000} \implies n = \frac{36 \cdot 25000}{3000} = 300

Una vez obtenido el tamaño total de la muestra $n = 300$ , determinamos la composición calculando el número de individuos de los estratos restantes:

n_1 = \frac{15000 \cdot 36}{3000} = 180 \text{ personas en el primer estrato}

n_2 = \frac{5000 \cdot 36}{3000} = 60 \text{ personas en el segundo estrato}

n_4 = \frac{2000 \cdot 36}{3000} = 24 \text{ personas en el cuarto estrato}

La composición de la muestra es: 180 personas del primer estrato, 60 del segundo, 36 del tercero y 24 del cuarto, para un total de $300$ personas.

b) Dada la población

P = \{2, 4, 6\}

, construya todas las muestras posibles de tamaño 2 que se puedan formar mediante muestreo aleatorio simple y halle la desviación típica de las medias muestrales obtenidas con todas esas muestras.

En el muestreo aleatorio simple (con reposición), para una población de 3 elementos tomados de 2 en 2, existen un total de $3^2 = 9$ muestras posibles. A continuación se listan las muestras y sus correspondientes medias $\bar{x}$ :

\begin{aligned} &(2, 2) \rightarrow \bar{x} = 2 & (4, 2) \rightarrow \bar{x} = 3 & (6, 2) \rightarrow \bar{x} = 4 \\ &(2, 4) \rightarrow \bar{x} = 3 & (4, 4) \rightarrow \bar{x} = 4 & (6, 4) \rightarrow \bar{x} = 5 \\ &(2, 6) \rightarrow \bar{x} = 4 & (4, 6) \rightarrow \bar{x} = 5 & (6, 6) \rightarrow \bar{x} = 6 \end{aligned}

Para hallar la desviación típica de las medias muestrales, calculamos primero la media de estas medias ( $\mu_{\bar{x}}$ ):

\mu_{\bar{x}} = \frac{2 + 3 + 4 + 3 + 4 + 5 + 4 + 5 + 6}{9} = \frac{36}{9} = 4

Ahora calculamos la varianza de las medias muestrales ( $\sigma_{\bar{x}}^2$ ):

\sigma_{\bar{x}}^2 = \frac{\sum (\bar{x}_i - \mu_{\bar{x}})^2}{k} = \frac{(2-4)^2 + 2(3-4)^2 + 3(4-4)^2 + 2(5-4)^2 + (6-4)^2}{9}

\sigma_{\bar{x}}^2 = \frac{4 + 2(1) + 3(0) + 2(1) + 4}{9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}

Finalmente, la desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza:

\sigma_{\bar{x}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1.1547