T4: Funciones · Parámetros y recta tangente — MATEMATICAS II PEvAU Andaluc%C3%ADa 2024

Parámetros y recta tangente

Problema

2024 · Extraordinaria · Titular

EJERCICIO 1

Sea $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ la función definida por

f(x) = a + b \cos(x) + c \operatorname{sen}(x)

Halla $a, b$ y $c$ sabiendo que su gráfica tiene en el punto de abscisa $x = \frac{\pi}{2}$ a la recta $y = 1$ como recta tangente, y que la recta $y = x - 1$ corta a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 0$ .

FuncionesRecta tangenteDerivadas

Determinación de parámetros de la función

Dada la función $f(x) = a + b \cos(x) + c \operatorname{sen}(x)$ , comenzamos calculando su derivada, que será necesaria para la condición de la recta tangente:

f'(x) = -b \operatorname{sen}(x) + c \cos(x)

A partir del enunciado, extraemos las condiciones necesarias para hallar los valores de $a$ , $b$ y $c$ :

1) En el punto de abscisa

x = 0

, la gráfica de

f

corta a la recta

y = x - 1

. Por tanto, el punto

(0, f(0))

debe estar en dicha recta:

f(0) = 0 - 1 = -1

Sustituyendo en la función original:

a + b \cos(0) + c \operatorname{sen}(0) = -1 \implies a + b = -1

2) En

x = \frac{\pi}{2}

, la recta tangente es

y = 1

. Esto implica que el punto

(\frac{\pi}{2}, 1)

pertenece a la gráfica y que la pendiente de la tangente (la derivada) en ese punto es igual a la pendiente de la recta horizontal

y = 1

, que es

0

f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \implies a + b \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + c \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \implies a + c = 1

f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \implies -b \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right) + c \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \implies -b = 0

Ahora resolvemos el sistema de ecuaciones obtenido:

\begin{cases} a + b = -1 \\ a + c = 1 \\ b = 0 \end{cases}

Sustituyendo $b = 0$ en la primera ecuación:

a + 0 = -1 \implies a = -1

Sustituyendo $a = -1$ en la segunda ecuación:

-1 + c = 1 \implies c = 2

Por tanto, los valores buscados son:

a = -1, \quad b = 0, \quad c = 2