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T1: Interacción gravitatoria
Energía y velocidad orbital
Problema
2022 · Ordinaria · Suplente
A1-b
Examen
b) Un satélite de 600 kg600 \text{ kg} se encuentra en órbita a una altura de 630 km630 \text{ km} sobre la superficie terrestre. Calcule razonadamente: i) la velocidad a la que orbita y ii) la energía mecánica del satélite en su órbita.

Datos: G=6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2;MT=5,98⋅1024 kg;RT=6370 kmG = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}; M_T = 5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg}; R_T = 6370 \text{ km}

Velocidad orbitalEnergía mecánicaCampo gravitatorio
b) i) Para calcular la velocidad a la que orbita el satélite, primero determinamos el radio de la órbita (rr), que es la suma del radio terrestre (RTR_T) y la altura (hh) sobre la superficie. Es fundamental trabajar con unidades del Sistema Internacional.
RT=6370 km=6370⋅103 mh=630 km=630⋅103 mr=RT+h=6370⋅103 m+630⋅103 m=7000⋅103 m=7,00⋅106 mR_T = 6370 \text{ km} = 6370 \cdot 10^3 \text{ m} \\ h = 630 \text{ km} = 630 \cdot 10^3 \text{ m} \\ r = R_T + h = 6370 \cdot 10^3 \text{ m} + 630 \cdot 10^3 \text{ m} = 7000 \cdot 10^3 \text{ m} = 7,00 \cdot 10^6 \text{ m}

En una órbita circular, la fuerza gravitatoria entre el satélite y la Tierra actúa como la fuerza centrípeta necesaria para mantener el satélite en su trayectoria. Por tanto, igualamos la expresión de la fuerza gravitatoria con la de la fuerza centrípeta.

Fg=FcGMTmsr2=msv2rF_g = F_c \\ G \frac{M_T m_s}{r^2} = m_s \frac{v^2}{r}

De esta igualdad, podemos despejar la velocidad orbital vv:

v2=GMTrv=GMTrv^2 = G \frac{M_T}{r} \\ v = \sqrt{G \frac{M_T}{r}}

Sustituimos los valores conocidos:

v=(6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2)5,98⋅1024 kg7,00⋅106 mv=3,98866⋅10147,00⋅106 m2⋅s−2v=5,69808⋅107 m2⋅s−2v≈7548,57 m/sv = \sqrt{(6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}) \frac{5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg}}{7,00 \cdot 10^6 \text{ m}}} \\ v = \sqrt{\frac{3,98866 \cdot 10^{14}}{7,00 \cdot 10^6}} \text{ m}^2 \cdot \text{s}^{-2} \\ v = \sqrt{5,69808 \cdot 10^7} \text{ m}^2 \cdot \text{s}^{-2} \\ v \approx 7548,57 \text{ m/s}
b) ii) La energía mecánica (EmE_m) del satélite en su órbita es la suma de su energía cinética (EkE_k) y su energía potencial gravitatoria (EpE_p).
Em=Ek+EpEk=12msv2Ep=−GMTmsrE_m = E_k + E_p \\ E_k = \frac{1}{2} m_s v^2 \\ E_p = -G \frac{M_T m_s}{r}

Sustituimos la expresión de v2v^2 obtenida anteriormente (v2=GMTrv^2 = G \frac{M_T}{r}) en la fórmula de la energía cinética:

Ek=12ms(GMTr)=12GMTmsrE_k = \frac{1}{2} m_s \left( G \frac{M_T}{r} \right) = \frac{1}{2} G \frac{M_T m_s}{r}

Ahora, sumamos la energía cinética y la energía potencial para obtener la energía mecánica:

Em=12GMTmsr−GMTmsrEm=−12GMTmsrE_m = \frac{1}{2} G \frac{M_T m_s}{r} - G \frac{M_T m_s}{r} \\ E_m = -\frac{1}{2} G \frac{M_T m_s}{r}

Sustituimos los valores numéricos:

Em=−12(6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2)(5,98⋅1024 kg)(600 kg)7,00⋅106 mEm=−122,3928⋅10177,00⋅106 JEm=−12(3,4182857⋅1010) JEm≈−1,71⋅1010 JE_m = -\frac{1}{2} (6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}) \frac{(5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg}) (600 \text{ kg})}{7,00 \cdot 10^6 \text{ m}} \\ E_m = -\frac{1}{2} \frac{2,3928 \cdot 10^{17}}{7,00 \cdot 10^6} \text{ J} \\ E_m = -\frac{1}{2} (3,4182857 \cdot 10^{10}) \text{ J} \\ E_m \approx -1,71 \cdot 10^{10} \text{ J}
TierraSatéliteFgv