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T3: Geometría
Posiciones relativas
Problema
2025 · Extraordinaria · Titular
4
Examen
EJERCICIO 4.

Considera la recta r≡{x−y+z=3x+2y−z=4r \equiv \begin{cases} x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 4 \end{cases} y el plano π≡mx−y−2z=5\pi \equiv mx - y - 2z = 5.

a) Halla mm para que rr y π\pi sean paralelos.b) Para m=−8m = -8, calcula la distancia de la recta rr al plano π\pi.
RectaPlanoParalelismo+1
a) Halla mm para que rr y π\pi sean paralelos.

Para que la recta rr y el plano π\pi sean paralelos, el vector director de la recta debe ser ortogonal al vector normal del plano. Es decir, su producto escalar debe ser cero.Primero, hallamos el vector director de la recta rr. La recta viene dada por la intersección de dos planos, por lo tanto, su vector director vr⃗\vec{v_r} es el producto vectorial de los vectores normales de estos planos.Los vectores normales de los planos que definen la recta son:

n1⃗=(1,−1,1)\vec{n_1} = (1, -1, 1)
n2⃗=(1,2,−1)\vec{n_2} = (1, 2, -1)

Calculamos el producto vectorial para obtener vr⃗\vec{v_r}:

vr⃗=n1⃗×n2⃗=∣i⃗j⃗k⃗1−1112−1∣\vec{v_r} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix}
vr⃗=((−1)(−1)−(1)(2))i⃗−((1)(−1)−(1)(1))j⃗+((1)(2)−(−1)(1))k⃗\vec{v_r} = ((-1)(-1) - (1)(2))\vec{i} - ((1)(-1) - (1)(1))\vec{j} + ((1)(2) - (-1)(1))\vec{k}
vr⃗=(1−2)i⃗−(−1−1)j⃗+(2+1)k⃗\vec{v_r} = (1 - 2)\vec{i} - (-1 - 1)\vec{j} + (2 + 1)\vec{k}
vr⃗=−1i⃗+2j⃗+3k⃗=(−1,2,3)\vec{v_r} = -1\vec{i} + 2\vec{j} + 3\vec{k} = (-1, 2, 3)

El vector normal del plano π≡mx−y−2z=5\pi \equiv mx - y - 2z = 5 es:

nπ⃗=(m,−1,−2)\vec{n_\pi} = (m, -1, -2)

Para que la recta rr y el plano π\pi sean paralelos, el producto escalar de sus vectores vr⃗⋅nπ⃗\vec{v_r} \cdot \vec{n_\pi} debe ser cero.

vr⃗⋅nπ⃗=(−1)(m)+(2)(−1)+(3)(−2)=0\vec{v_r} \cdot \vec{n_\pi} = (-1)(m) + (2)(-1) + (3)(-2) = 0
−m−2−6=0-m - 2 - 6 = 0
−m−8=0-m - 8 = 0
m=−8m = -8
b) Para m=−8m = -8, calcula la distancia de la recta rr al plano π\pi.

Dado que para m=−8m = -8 la recta rr y el plano π\pi son paralelos, la distancia entre ellos se puede calcular como la distancia de cualquier punto de la recta al plano.Primero, hallamos un punto PrP_r de la recta rr. Para ello, podemos dar un valor a una de las variables en las ecuaciones de la recta, por ejemplo, z=0z = 0:

{x−y+0=3x+2y−0=4\begin{cases} x - y + 0 = 3 \\ x + 2y - 0 = 4 \end{cases}
{x−y=3(1)x+2y=4(2)\begin{cases} x - y = 3 \quad (1) \\ x + 2y = 4 \quad (2) \end{cases}

Restamos la ecuación (1) de la ecuación (2):

(x+2y)−(x−y)=4−3(x + 2y) - (x - y) = 4 - 3
3y=1  ⟹  y=133y = 1 \implies y = \frac{1}{3}

Sustituimos y=1/3y = 1/3 en la ecuación (1):

x−13=3  ⟹  x=3+13=9+13=103x - \frac{1}{3} = 3 \implies x = 3 + \frac{1}{3} = \frac{9+1}{3} = \frac{10}{3}

Así, un punto de la recta rr es Pr=(10/3,1/3,0)P_r = (10/3, 1/3, 0).Para m=−8m = -8, la ecuación del plano π\pi es −8x−y−2z=5-8x - y - 2z = 5, que se puede escribir como −8x−y−2z−5=0-8x - y - 2z - 5 = 0.La distancia de un punto (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0) a un plano Ax+By+Cz+D=0Ax + By + Cz + D = 0 viene dada por la fórmula:

d(P,π)=∣Ax0+By0+Cz0+D∣A2+B2+C2d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

Sustituyendo Pr=(10/3,1/3,0)P_r = (10/3, 1/3, 0) y el plano π≡−8x−y−2z−5=0\pi \equiv -8x - y - 2z - 5 = 0:

d(r,π)=∣−8(103)−1(13)−2(0)−5∣(−8)2+(−1)2+(−2)2d(r, \pi) = \frac{|-8(\frac{10}{3}) - 1(\frac{1}{3}) - 2(0) - 5|}{\sqrt{(-8)^2 + (-1)^2 + (-2)^2}}
d(r,π)=∣−803−13−0−5∣64+1+4d(r, \pi) = \frac{|-\frac{80}{3} - \frac{1}{3} - 0 - 5|}{\sqrt{64 + 1 + 4}}
d(r,π)=∣−813−5∣69d(r, \pi) = \frac{|-\frac{81}{3} - 5|}{\sqrt{69}}
d(r,π)=∣−27−5∣69d(r, \pi) = \frac{|-27 - 5|}{\sqrt{69}}
d(r,π)=∣−32∣69d(r, \pi) = \frac{|-32|}{\sqrt{69}}
d(r,π)=3269d(r, \pi) = \frac{32}{\sqrt{69}}

Racionalizando el denominador:

d(r,π)=326969d(r, \pi) = \frac{32\sqrt{69}}{69}