T2: Interacción electromagnética

Inducción electromagnética

Problema

2018 · Extraordinaria · Suplente

2A-b

Una bobina circular de $20$ espiras y radio $5 \text{ cm}$ se coloca en el seno de un campo magnético dirigido perpendicularmente al plano de la bobina. El módulo del campo magnético varía con el tiempo de acuerdo con la expresión $B = 0,02 \cdot t + 0,8 \cdot t^{2} \text{ (SI)}.$

2. b) Determine: (i) El flujo magnético que atraviesa la bobina en función del tiempo; (ii) la fem inducida en la bobina en el instante

t = 5 \text{ s}

Flujo magnéticoLey de FaradayBobina

b) (i) Flujo magnético a través de la bobina en función del tiempo

El flujo magnético a través de una sola espira es $\Phi = B \cdot A$ , donde $A$ es el área de la espira. Como el campo es perpendicular al plano de la bobina, el ángulo entre $\vec{B}$ y la normal al plano es $0^\circ$ , por lo que $\cos(0^\circ) = 1$ .Área de cada espira (radio $r = 5 \text{ cm} = 0{,}05 \text{ m}$ ):

A = \pi r^2 = \pi \cdot (0{,}05)^2 = \pi \cdot 2{,}5 \times 10^{-3} \approx 7{,}854 \times 10^{-3} \text{ m}^2

El flujo total a través de la bobina de $N = 20$ espiras es el flujo concatenado $\Phi_{\text{total}} = N \cdot B \cdot A$ :

\Phi_{\text{total}}(t) = N \cdot B(t) \cdot A = 20 \cdot (0{,}02\,t + 0{,}8\,t^2) \cdot 7{,}854 \times 10^{-3}

\Phi_{\text{total}}(t) = 20 \cdot 7{,}854 \times 10^{-3} \cdot (0{,}02\,t + 0{,}8\,t^2)

\Phi_{\text{total}}(t) = 0{,}15708 \cdot (0{,}02\,t + 0{,}8\,t^2)

\boxed{\Phi_{\text{total}}(t) = (3{,}14 \times 10^{-3})\,t + (0{,}1257)\,t^2 \quad [\text{Wb}]}

O equivalentemente: $\Phi_{\text{total}}(t) = 20\pi \cdot (2{,}5 \times 10^{-3}) \cdot (0{,}02\,t + 0{,}8\,t^2) \text{ Wb}$ .

b) (ii) Fuerza electromotriz (fem) inducida en

t = 5 \text{ s}

Por la Ley de Faraday, la fem inducida en la bobina es:

\varepsilon = -\frac{d\Phi_{\text{total}}}{dt} = -N \cdot A \cdot \frac{dB}{dt}

Calculamos la derivada de $B(t)$ respecto al tiempo:

\frac{dB}{dt} = 0{,}02 + 1{,}6\,t

En el instante $t = 5 \text{ s}$ :

\left.\frac{dB}{dt}\right|_{t=5} = 0{,}02 + 1{,}6 \cdot 5 = 0{,}02 + 8{,}0 = 8{,}02 \text{ T/s}

Por tanto, la fem inducida en $t = 5 \text{ s}$ es (tomando el módulo):

|\varepsilon| = N \cdot A \cdot \frac{dB}{dt} = 20 \cdot 7{,}854 \times 10^{-3} \cdot 8{,}02

|\varepsilon| = 0{,}15708 \cdot 8{,}02 \approx 1{,}260 \text{ V}

\boxed{|\varepsilon(t=5\text{ s})| \approx 1{,}26 \text{ V}}