T2: Sistemas de ecuaciones lineales · Problemas de sistemas — MATEMATICAS II PEvAU Andaluc%C3%ADa 2022

Problemas de sistemas

Problema

2022 · Ordinaria · Reserva

En un estudio del ciclo del sueño se monitoriza la fase NO-REM (es el momento del sueño que el cuerpo utiliza para descansar físicamente). Esta fase se divide a su vez en tres momentos: Fase I (adormecimiento), Fase II (sueño ligero) y Fase III (sueño profundo). Una persona dedica el 75 % de su sueño a la fase NO-REM. Además, el tiempo que dedica a la Fase II es el doble que el de la Fase I y III juntas. Por otro lado, a la Fase III se dedica el cuádruple que a la Fase I. Si una persona ha dormido 8 horas, ¿cuántos minutos dedica a las Fases I, II y III del ciclo del sueño?

Sistemas de ecuacionesProblema de enunciado

Primero, convertimos el tiempo total de sueño a minutos, ya que la pregunta pide la respuesta en minutos.

8 \text{ horas} \cdot 60 \frac{\text{minutos}}{\text{hora}} = 480 \text{ minutos}

Una persona dedica el $75 \%$ de su sueño a la fase NO-REM. Calculamos el tiempo total dedicado a esta fase.

T_{\text{NO-REM}} = 0.75 \cdot 480 \text{ minutos} = 360 \text{ minutos}

La fase NO-REM se divide en Fase I, Fase II y Fase III. Sean $T_I$ , $T_{II}$ y $T_{III}$ los tiempos dedicados a cada fase, respectivamente. Entonces:

T_I + T_{II} + T_{III} = 360 \text{ (minutos)}

Según el enunciado, tenemos las siguientes relaciones:

a) El tiempo que dedica a la Fase II es el doble que el de la Fase I y III juntas.

T_{II} = 2 \cdot (T_I + T_{III})

b) A la Fase III se dedica el cuádruple que a la Fase I.

T_{III} = 4 \cdot T_I

Sustituimos la expresión de $T_{III}$ en la ecuación de $T_{II}$ :

T_{II} = 2 \cdot (T_I + 4 \cdot T_I)

T_{II} = 2 \cdot (5 \cdot T_I)

T_{II} = 10 \cdot T_I

Ahora, sustituimos $T_{II}$ y $T_{III}$ en términos de $T_I$ en la ecuación de la suma total de la fase NO-REM:

T_I + (10 \cdot T_I) + (4 \cdot T_I) = 360

15 \cdot T_I = 360

T_I = \frac{360}{15}

T_I = 24 \text{ minutos}

Una vez calculado $T_I$ , podemos calcular $T_{III}$ y $T_{II}$ :

T_{III} = 4 \cdot T_I = 4 \cdot 24 = 96 \text{ minutos}

T_{II} = 10 \cdot T_I = 10 \cdot 24 = 240 \text{ minutos}

Verificamos que la suma de los tiempos sea correcta:

T_I + T_{II} + T_{III} = 24 + 240 + 96 = 360 \text{ minutos}

Esta suma coincide con el tiempo total dedicado a la fase NO-REM.

a) Tiempo dedicado a la Fase I:

24

minutos.b) Tiempo dedicado a la Fase II:

240

minutos.c) Tiempo dedicado a la Fase III:

96

minutos.