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T2: Sistemas de ecuaciones lineales
Discusión de sistemas
Problema
2024 · Extraordinaria · Reserva
6
Examen

Considera el sistema

(5−2−320−23−2−1)(xyz)=m(xyz)\begin{pmatrix} 5 & -2 & -3 \\ 2 & 0 & -2 \\ 3 & -2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = m \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}
a) Determina los valores de mm para los que el sistema es compatible indeterminado.b) Para m=2m = 2 resuelve el sistema, si es posible.
Sistemas linealesAutovaloresDiscusión de sistemas
Resolución de sistema de ecuaciones lineales

El sistema dado puede expresarse como una ecuación matricial de la forma (A−mI)X=0(A - mI)X = 0, donde II es la matriz identidad. Agrupando los términos en el primer miembro, obtenemos:

(5−m−2−32−m−23−2−1−m)(xyz)=(000)\begin{pmatrix} 5-m & -2 & -3 \\ 2 & -m & -2 \\ 3 & -2 & -1-m \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
a) Determina los valores de mm para los que el sistema es compatible indeterminado.

Al tratarse de un sistema homogéneo, siempre es compatible (admite al menos la solución trivial x=y=z=0x=y=z=0). Para que sea compatible indeterminado, el determinante de la matriz de coeficientes debe ser nulo:

∣A−mI∣=∣5−m−2−32−m−23−2−1−m∣=0|A - mI| = \begin{vmatrix} 5-m & -2 & -3 \\ 2 & -m & -2 \\ 3 & -2 & -1-m \end{vmatrix} = 0

Calculamos el determinante aplicando la regla de Sarrus:

∣A−mI∣=(5−m)(−m)(−1−m)+(−2)(−2)(3)+(−3)(2)(−2)−[3(−m)(−3)+(−2)(−2)(5−m)+(−1−m)(2)(−2)]|A - mI| = (5-m)(-m)(-1-m) + (-2)(-2)(3) + (-3)(2)(-2) - [3(-m)(-3) + (-2)(-2)(5-m) + (-1-m)(2)(-2)]
∣A−mI∣=(−5m+m2)(−1−m)+12+12−[9m+20−4m+4+4m]|A - mI| = (-5m+m^2)(-1-m) + 12 + 12 - [9m + 20 - 4m + 4 + 4m]
∣A−mI∣=(5m+5m2−m2−m3)+24−(9m+24)=−m3+4m2−4m|A - mI| = (5m + 5m^2 - m^2 - m^3) + 24 - (9m + 24) = -m^3 + 4m^2 - 4m

Igualamos el resultado a cero para hallar los valores de mm:

−m3+4m2−4m=0  ⟹  −m(m2−4m+4)=0  ⟹  −m(m−2)2=0-m^3 + 4m^2 - 4m = 0 \implies -m(m^2 - 4m + 4) = 0 \implies -m(m-2)^2 = 0

Las soluciones son m=0m = 0 y m=2m = 2. Por lo tanto, el sistema es compatible indeterminado para estos valores.

b) Para m=2m = 2 resuelve el sistema, si es posible.

Sustituyendo m=2m = 2 en la matriz del sistema:

(3−2−32−2−23−2−3)(xyz)=(000)\begin{pmatrix} 3 & -2 & -3 \\ 2 & -2 & -2 \\ 3 & -2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}

Observamos que la primera y la tercera fila son iguales, por lo que podemos eliminar una de ellas. El sistema queda reducido a:

{3x−2y−3z=02x−2y−2z=0\begin{cases} 3x - 2y - 3z = 0 \\ 2x - 2y - 2z = 0 \end{cases}

Simplificamos la segunda ecuación dividiendo entre 22 para obtener x−y−z=0x - y - z = 0, de donde despejamos yy:

y=x−zy = x - z

Sustituimos esta expresión en la primera ecuación:

3x−2(x−z)−3z=0  ⟹  3x−2x+2z−3z=0  ⟹  x−z=0  ⟹  x=z3x - 2(x - z) - 3z = 0 \implies 3x - 2x + 2z - 3z = 0 \implies x - z = 0 \implies x = z

Si x=zx = z, entonces y=z−z=0y = z - z = 0. Parametrizando con z=λz = \lambda:

{x=λy=0z=λ∀λ∈R\begin{cases} x = \lambda \\ y = 0 \\ z = \lambda \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}