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T5: Integrales
Cálculo de primitivas
Problema
2025 · Ordinaria · Titular
6
Examen

Halla la función f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R} que pasa por los puntos (2,e−2−2ln⁡(2))(2, e - 2 - 2 \ln(2)) y (1,0)(1, 0), y verifica que:

f′′(x)=ex−1−1xf''(x) = e^{x-1} - \frac{1}{x}
IntegraciónSegunda derivadaCondiciones iniciales

Para hallar la función f(x), debemos integrar sucesivamente la segunda derivada proporcionada. Primero, calculamos la primera derivada integrando f''(x):

f′(x)=∫f′′(x) dx=∫(ex−1−1x)dxf'(x) = \int f''(x) \, dx = \int \left( e^{x-1} - \frac{1}{x} \right) dx
f′(x)=ex−1−ln⁡∣x∣+C1f'(x) = e^{x-1} - \ln|x| + C_1

Dado que el dominio de la función es (0, +\infty), podemos prescindir del valor absoluto en el logaritmo. Procedemos a realizar la segunda integración para hallar f(x):

f(x)=∫(ex−1−ln⁡x+C1) dxf(x) = \int (e^{x-1} - \ln x + C_1) \, dx

La integral del logaritmo natural se resuelve mediante el método de integración por partes:

∫ln⁡x dx=xln⁡x−∫x⋅1x dx=xln⁡x−x\int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \ln x - x

Sustituimos este resultado en la expresión general de f(x) y agrupamos las constantes:

f(x)=ex−1−(xln⁡x−x)+C1x+C2=ex−1−xln⁡x+(1+C1)x+C2f(x) = e^{x-1} - (x \ln x - x) + C_1 x + C_2 = e^{x-1} - x \ln x + (1 + C_1)x + C_2

Para simplificar la expresión, redefinimos las constantes constantes como C = 1 + C_1 y D = C_2:

f(x)=ex−1−xln⁡x+Cx+Df(x) = e^{x-1} - x \ln x + Cx + D

Utilizamos el punto (1, 0) para establecer la primera condición:

f(1)=e1−1−1⋅ln⁡(1)+C(1)+D=0  ⟹  1−0+C+D=0  ⟹  C+D=−1f(1) = e^{1-1} - 1 \cdot \ln(1) + C(1) + D = 0 \implies 1 - 0 + C + D = 0 \implies C + D = -1

Utilizamos el punto (2, e - 2 - 2 \ln 2) para establecer la segunda condición:

f(2)=e2−1−2ln⁡(2)+2C+D=e−2−2ln⁡2  ⟹  e−2ln⁡2+2C+D=e−2−2ln⁡2f(2) = e^{2-1} - 2 \ln(2) + 2C + D = e - 2 - 2 \ln 2 \implies e - 2 \ln 2 + 2C + D = e - 2 - 2 \ln 2
2C+D=−22C + D = -2

Resolvemos el sistema de ecuaciones lineales resultante para determinar C y D:

{C+D=−12C+D=−2  ⟹  C=−1,D=0\begin{cases} C + D = -1 \\ 2C + D = -2 \end{cases} \implies C = -1, \quad D = 0

Sustituyendo los valores hallados en la expresión de f(x), obtenemos la función buscada:

f(x)=ex−1−xln⁡x−x\mathbf{f(x) = e^{x-1} - x \ln x - x}