T3: Geometría · Geometría métrica — MATEMATICAS II PEvAU Andaluc%C3%ADa 2023

Geometría métrica

Problema

2023 · Ordinaria · Suplente

Dados los puntos $O(0, 0, 0), A(2, -1, 0), B(3, 0, x)$ y $C(-x, 1, -1)$ , los vectores $\vec{OA}, \vec{OB}$ y $\vec{OC}$ determinan un paralelepípedo.

a) Calcula los posibles valores de

x

sabiendo que el volumen del paralelepípedo es 5 unidades cúbicas.b) Para

x = 1

, halla el área de la cara del paralelepípedo que contiene a los vértices

O, A

B

GeometríaVolumenParalelepípedo+2

Cálculo del volumen y área de un paralelepípedo

a) Calcula los posibles valores de

x

sabiendo que el volumen del paralelepípedo es 5 unidades cúbicas.

Los vectores que determinan el paralelepípedo a partir del origen $O(0, 0, 0)$ son:

\vec{OA} = (2, -1, 0), \quad \vec{OB} = (3, 0, x), \quad \vec{OC} = (-x, 1, -1)

El volumen $V$ de un paralelepípedo definido por tres vectores es el valor absoluto de su producto mixto:

V = |[\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}]| = \left| \det(\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}) \right|

Calculamos el determinante de la matriz formada por los vectores:

\begin{vmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 3 & 0 & x \\ -x & 1 & -1 \end{vmatrix} = 2(0 - x) - (-1)(-3 - (-x^2)) + 0 = -2x + (-3 + x^2) = x^2 - 2x - 3

Igualamos el valor absoluto del determinante al volumen dado, que es 5:

|x^2 - 2x - 3| = 5

Esto nos plantea dos posibles casos para resolver:Caso 1: $x^2 - 2x - 3 = 5 \implies x^2 - 2x - 8 = 0$ . Aplicando la fórmula de la ecuación de segundo grado:

x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2}

Obtenemos los valores $x_1 = 4$ y $x_2 = -2$ .Caso 2: $x^2 - 2x - 3 = -5 \implies x^2 - 2x + 2 = 0$ . Calculamos el discriminante:

\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4

Como el discriminante es negativo, este caso no tiene soluciones reales. Por tanto, los valores posibles de $x$ son $4$ y $-2$ .

b) Para

x = 1

, halla el área de la cara del paralelepípedo que contiene a los vértices

O, A

B

Si $x = 1$ , los vectores que definen la cara son $\vec{OA} = (2, -1, 0)$ y $\vec{OB} = (3, 0, 1)$ . El área de la cara (que es un paralelogramo) es el módulo del producto vectorial de ambos vectores:

\text{Área} = |\vec{OA} \times \vec{OB}|

Calculamos el producto vectorial:

\vec{OA} \times \vec{OB} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (-1 - 0)\mathbf{i} - (2 - 0)\mathbf{j} + (0 - (-3))\mathbf{k} = (-1, -2, 3)

Calculamos el módulo del vector resultante:

|\vec{OA} \times \vec{OB}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}

El área de la cara que contiene a los vértices $O, A$ y $B$ es $\sqrt{14}$ unidades cuadradas.