T1: Interacción gravitatoria

Dinámica y energía

Problema

2022 · Extraordinaria · Reserva

A1-b

Un cuerpo de $0,5 \text{ kg}$ , inicialmente en reposo, asciende por un plano inclinado $30^{\circ}$ con respecto a la horizontal por el efecto de una fuerza de $4 \text{ N}$ paralela a dicho plano. El coeficiente de rozamiento del cuerpo con la superficie es de $0,2$ .

b) i) Calcule el trabajo realizado por cada una de las fuerzas que intervienen cuando el cuerpo ha recorrido una distancia de

2 \text{ m}

. ii) Determine, mediante consideraciones energéticas, la velocidad del cuerpo después de recorrer dicha distancia.

Dato: $g = 9,8 \text{ m s}^{-2}$

Plano inclinadoTrabajoRozamiento+1

b) i) Cálculo del trabajo realizado por cada una de las fuerzas:

Primero, calculamos las magnitudes de las fuerzas que intervienen. El cuerpo tiene una masa $m = 0,5 \text{ kg}$ y el plano está inclinado $\alpha = 30^\circ$ . La distancia recorrida es $d = 2 \text{ m}$ . El coeficiente de rozamiento es $\mu = 0,2$ .Fuerza Peso ( $P$ ):

P = m \cdot g = 0,5 \text{ kg} \cdot 9,8 \text{ m/s}^2 = 4,9 \text{ N}

Componentes del peso:

P_x = P \sin(\alpha) = 4,9 \text{ N} \cdot \sin(30^\circ) = 4,9 \text{ N} \cdot 0,5 = 2,45 \text{ N}

P_y = P \cos(\alpha) = 4,9 \text{ N} \cdot \cos(30^\circ) = 4,9 \text{ N} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 4,2435 \text{ N}

Fuerza Normal ( $N$ ): Al no haber aceleración perpendicular al plano, la normal equilibra la componente $P_y$ del peso.

N = P_y = 4,2435 \text{ N}

Fuerza de Rozamiento ( $fr$ ): Se opone al movimiento, que es ascendente.

fr = \mu \cdot N = 0,2 \cdot 4,2435 \text{ N} = 0,8487 \text{ N}

Fuerza Aplicada ( $F$ ): Es de $4 \text{ N}$ y paralela al plano, en sentido ascendente.Ahora, calculamos el trabajo de cada fuerza para una distancia $d = 2 \text{ m}$ . La fórmula general para el trabajo de una fuerza constante es $W = F \cdot d \cdot \cos(\theta)$ .Trabajo realizado por la fuerza aplicada ( $W_F$ ):

W_F = F \cdot d \cdot \cos(0^\circ) = 4 \text{ N} \cdot 2 \text{ m} \cdot 1 = 8 \text{ J}

Trabajo realizado por la fuerza normal ( $W_N$ ):

W_N = N \cdot d \cdot \cos(90^\circ) = N \cdot d \cdot 0 = 0 \text{ J}

Trabajo realizado por la fuerza de rozamiento ( $W_{fr}$ ):

W_{fr} = fr \cdot d \cdot \cos(180^\circ) = 0,8487 \text{ N} \cdot 2 \text{ m} \cdot (-1) = -1,6974 \text{ J}

Trabajo realizado por la fuerza peso ( $W_P$ ): La componente $P_x$ se opone al movimiento, o el ángulo entre el vector peso y el desplazamiento es $90^\circ + 30^\circ = 120^\circ$ .

W_P = P \cdot d \cdot \cos(120^\circ) = 4,9 \text{ N} \cdot 2 \text{ m} \cdot (-0,5) = -4,9 \text{ J}

b) ii) Determinación de la velocidad del cuerpo mediante consideraciones energéticas:

Aplicamos el teorema de las fuerzas vivas (Teorema de la Energía Cinética), que establece que el trabajo total realizado sobre un cuerpo es igual al cambio en su energía cinética.

W_{total} = \Delta E_k = E_{kf} - E_{ki}

Calculamos el trabajo total:

W_{total} = W_F + W_N + W_{fr} + W_P

W_{total} = 8 \text{ J} + 0 \text{ J} - 1,6974 \text{ J} - 4,9 \text{ J} = 1,4026 \text{ J}

El cuerpo parte del reposo, por lo que su energía cinética inicial es $E_{ki} = 0$ .

W_{total} = \frac{1}{2} m v_f^2 - 0

1,4026 \text{ J} = \frac{1}{2} \cdot 0,5 \text{ kg} \cdot v_f^2

1,4026 = 0,25 \cdot v_f^2

v_f^2 = \frac{1,4026}{0,25} = 5,6104

v_f = \sqrt{5,6104} \approx 2,3686 \text{ m/s}

Redondeando a tres cifras significativas, la velocidad final del cuerpo es $2,37 \text{ m/s}$ .