T1: Interacción gravitatoria · Campo gravitatorio — FISICA PEvAU Andaluc%C3%ADa 2017

Campo gravitatorio

Teoría

2017 · Extraordinaria · Reserva

1A-a

a) Dos partículas, de masas

m

3m

, están situadas a una distancia

d

la una de la otra. Indique razonadamente en qué punto habría que colocar otra masa

M

para que estuviera en equilibrio.

equilibrioley de gravitación universal

a) Buscamos el punto sobre la línea que une las dos masas donde la fuerza gravitatoria neta sobre M sea cero.

Para que M esté en equilibrio, la fuerza gravitatoria que ejerce m sobre M debe ser igual y opuesta a la que ejerce 3m sobre M. Esto solo puede ocurrir si M se coloca entre las dos masas (en ese tramo, las fuerzas apuntan en sentidos contrarios) y más cerca de la masa menor m, ya que esta atrae con menos fuerza.Sea $x$ la distancia desde la masa $m$ hasta M, y por tanto $(d - x)$ la distancia desde M hasta la masa $3m$ . La condición de equilibrio es:

F_{m \to M} = F_{3m \to M}

G \frac{m \cdot M}{x^2} = G \frac{3m \cdot M}{(d-x)^2}

Simplificando $G$ , $m$ y $M$ :

\frac{1}{x^2} = \frac{3}{(d-x)^2}

Tomando raíces cuadradas en ambos miembros (ambos lados son positivos):

\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{3}}{d - x}

d - x = \sqrt{3}\, x

d = x(1 + \sqrt{3})

x = \frac{d}{1 + \sqrt{3}} = \frac{d(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{d(\sqrt{3}-1)}{2}

Numéricamente: $\sqrt{3} \approx 1{,}732$ , por lo que $x \approx \dfrac{0{,}732\,d}{2} \approx 0{,}366\,d$ .Por tanto, la masa M debe colocarse sobre la línea que une ambas masas, a una distancia $x = \dfrac{(\sqrt{3}-1)}{2}\,d \approx 0{,}366\,d$ de la masa $m$ (y a $(d-x) \approx 0{,}634\,d$ de la masa $3m$ ). En ese punto, las fuerzas gravitatorias de ambas masas sobre M son iguales en módulo y opuestas en dirección, de modo que la fuerza resultante es nula y M está en equilibrio.