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T3: Programación lineal
Optimización de beneficios
Problema
2025 · Extraordinaria · Suplente
2
Examen

Una agricultora vende en su tienda online frutas y hortalizas envasándolas en cajas de dos tipos diferentes. La caja "El regalo de la tierra" la vende a 19.75  euros19.75 \text{ \,\text{euros}} y contiene 3 kg3 \text{ kg} de frutas y 3.5 kg3.5 \text{ kg} de hortalizas. La caja "El tesoro de la huerta" contiene 2 kg2 \text{ kg} de frutas y 4 kg4 \text{ kg} de hortalizas y la vende a 18.50  euros18.50 \text{ \,\text{euros}}. La agricultora dispone semanalmente de 210 kg210 \text{ kg} de hortalizas y 150 kg150 \text{ kg} de frutas. Debe vender al menos 1212 cajas de "El regalo de la tierra" y no menos de 1515 cajas de "El tesoro de la huerta". ¿Cuántas cajas de cada tipo debe vender a la semana para que el ingreso por la venta sea máximo? ¿A cuánto asciende este ingreso?

Programación linealOptimizaciónRestricciones
Resolución del problema de programación lineal

Definimos las variables del problema basándonos en el número de cajas de cada tipo que se deben vender a la semana:

xx: Número de cajas tipo "El regalo de la tierra".yy: Número de cajas tipo "El tesoro de la huerta".

La función que representa los ingresos totales y que deseamos maximizar es:

I(x,y)=19.75x+18.50yI(x, y) = 19.75x + 18.50y

Las restricciones del problema, dadas por la disponibilidad de fruta y hortalizas, así como por los mínimos de venta, son las siguientes:

Frutas: 3x+2y≤1503x + 2y \le 150Hortalizas: 3.5x+4y≤2103.5x + 4y \le 210 (equivalente a 7x+8y≤4207x + 8y \le 420)Mínimo caja 1: x≥12x \ge 12Mínimo caja 2: y≥15y \ge 15

Para determinar la región factible, calculamos los vértices del recinto cerrado delimitado por estas inecuaciones:

Vértice A: Intersección de x=12x=12 e y=15y=15. Obtenemos el punto (12,15)(12, 15).Vértice B: Intersección de y=15y=15 y 3x+2y=1503x + 2y = 150. Sustituyendo: 3x+2(15)=150⇒3x=120⇒x=403x + 2(15) = 150 \Rightarrow 3x = 120 \Rightarrow x = 40. Obtenemos el punto (40,15)(40, 15).Vértice C: Intersección de 3x+2y=1503x + 2y = 150 y 3.5x+4y=2103.5x + 4y = 210. Resolviendo el sistema por reducción: multiplicamos la primera por −2-2, obteniendo −6x−4y=−300-6x - 4y = -300; sumamos a la segunda: −2.5x=−90⇒x=36-2.5x = -90 \Rightarrow x = 36. Sustituyendo xx: 3(36)+2y=150⇒108+2y=150⇒2y=42⇒y=213(36) + 2y = 150 \Rightarrow 108 + 2y = 150 \Rightarrow 2y = 42 \Rightarrow y = 21. Obtenemos el punto (36,21)(36, 21).Vértice D: Intersección de x=12x=12 y 3.5x+4y=2103.5x + 4y = 210. Sustituyendo: 3.5(12)+4y=210⇒42+4y=210⇒4y=168⇒y=423.5(12) + 4y = 210 \Rightarrow 42 + 4y = 210 \Rightarrow 4y = 168 \Rightarrow y = 42. Obtenemos el punto (12,42)(12, 42).

Evaluamos la función objetivo I(x,y)I(x, y) en cada uno de los vértices para hallar el valor máximo:

I(12,15)=19.75(12)+18.50(15)=237+277.5=514.5  eurosI(12, 15) = 19.75(12) + 18.50(15) = 237 + 277.5 = 514.5 \text{ \,\text{euros}}
I(40,15)=19.75(40)+18.50(15)=790+277.5=1067.5  eurosI(40, 15) = 19.75(40) + 18.50(15) = 790 + 277.5 = 1067.5 \text{ \,\text{euros}}
I(36,21)=19.75(36)+18.50(21)=711+388.5=1099.5  eurosI(36, 21) = 19.75(36) + 18.50(21) = 711 + 388.5 = 1099.5 \text{ \,\text{euros}}
I(12,42)=19.75(12)+18.50(42)=237+777=1014  eurosI(12, 42) = 19.75(12) + 18.50(42) = 237 + 777 = 1014 \text{ \,\text{euros}}
3x+2y≤1503.5x+4y≤210x≥12y≥15(12, 15)(40, 15)(36, 21)(12, 42)Máx: z = 1099.5010203040502040xyz = 19.75x + 18.5y

Para que el ingreso por la venta sea máximo, la agricultora debe vender semanalmente 36 cajas de "El regalo de la tierra" y 21 cajas de "El tesoro de la huerta". El ingreso máximo asciende a 1099.50  euros1099.50 \text{ \,\text{euros}}.