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T5: Integrales
Métodos de integración
Problema
2021 · Ordinaria · Reserva
4
Examen

Calcula

∫0211+exdx\int_0^2 \frac{1}{1 + \sqrt{e^x}} dx

(Sugerencia: efectúa el cambio de variable t=ext = \sqrt{e^x}.)

Integral definidaCambio de variableFunción exponencial

Para calcular la integral, efectuamos el cambio de variable sugerido.

1. Cambio de variable y sus diferenciales:
t=ex=ex/2t = \sqrt{e^x} = e^{x/2}

Derivamos tt con respecto a xx para encontrar dxdx en términos de dtdt:

dtdx=12ex/2\frac{dt}{dx} = \frac{1}{2} e^{x/2}

Por lo tanto,

dt=12ex/2dx=12tdxdt = \frac{1}{2} e^{x/2} dx = \frac{1}{2} t dx

Despejando dxdx:

dx=2tdtdx = \frac{2}{t} dt
2. Cambio de los límites de integración:

Para x=0x = 0:

t=e0=1=1t = \sqrt{e^0} = \sqrt{1} = 1

Para x=2x = 2:

t=e2=e2/2=et = \sqrt{e^2} = e^{2/2} = e
3. Sustitución en la integral:

La integral original se transforma en:

∫1e11+t(2t)dt=∫1e2t(1+t)dt\int_1^e \frac{1}{1 + t} \left(\frac{2}{t}\right) dt = \int_1^e \frac{2}{t(1+t)} dt
4. Descomposición en fracciones parciales:

Descomponemos el integrando:

2t(1+t)=At+B1+t\frac{2}{t(1+t)} = \frac{A}{t} + \frac{B}{1+t}

Multiplicando por t(1+t)t(1+t):

2=A(1+t)+Bt2 = A(1+t) + Bt

Si t=0t=0:

2=A(1+0)+B(0)⇒A=22 = A(1+0) + B(0) \Rightarrow A = 2

Si t=−1t=-1:

2=A(1−1)+B(−1)⇒2=−B⇒B=−22 = A(1-1) + B(-1) \Rightarrow 2 = -B \Rightarrow B = -2

Así, el integrando es:

2t(1+t)=2t−21+t\frac{2}{t(1+t)} = \frac{2}{t} - \frac{2}{1+t}
5. Integración:
∫1e(2t−21+t)dt=[2ln⁡∣t∣−2ln⁡∣1+t∣]1e\int_1^e \left(\frac{2}{t} - \frac{2}{1+t}\right) dt = \left[ 2\ln|t| - 2\ln|1+t| \right]_1^e

Aplicando las propiedades de los logaritmos:

=[2ln⁡∣t1+t∣]1e= \left[ 2\ln\left|\frac{t}{1+t}\right| \right]_1^e
6. Evaluación de la integral definida:
=2ln⁡(e1+e)−2ln⁡(11+1)= 2\ln\left(\frac{e}{1+e}\right) - 2\ln\left(\frac{1}{1+1}\right)
=2ln⁡(e1+e)−2ln⁡(12)= 2\ln\left(\frac{e}{1+e}\right) - 2\ln\left(\frac{1}{2}\right)

Usando la propiedad ln⁡(a/b)=ln⁡a−ln⁡b\ln(a/b) = \ln a - \ln b y ln⁡(1/x)=−ln⁡x\ln(1/x) = -\ln x:

=2(ln⁡e−ln⁡(1+e))−2(ln⁡1−ln⁡2)= 2(\ln e - \ln(1+e)) - 2(\ln 1 - \ln 2)
=2(1−ln⁡(1+e))−2(0−ln⁡2)= 2(1 - \ln(1+e)) - 2(0 - \ln 2)
=2−2ln⁡(1+e)+2ln⁡2= 2 - 2\ln(1+e) + 2\ln 2

Finalmente, podemos reordenar y simplificar la expresión:

=2+2(ln⁡2−ln⁡(1+e))= 2 + 2(\ln 2 - \ln(1+e))
=2+2ln⁡(21+e)= 2 + 2\ln\left(\frac{2}{1+e}\right)