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2018 · Ordinaria · Suplente
1B-a
Examen
a) Explique qué se entiende por velocidad orbital y deduzca su expresión para un satélite que describe una órbita circular alrededor de la Tierra. ¿Cuál es mayor, la velocidad orbital de un satélite de 2000 kg2000 \text{ kg} o la de otro de 1000 kg1000 \text{ kg}? Razone sus respuestas.
Velocidad orbitalSatélites
a) Velocidad orbital y su deducción

La velocidad orbital es la velocidad que debe tener un satélite para mantenerse en una órbita circular alrededor de la Tierra sin alejarse ni acercarse a ella. En una órbita circular, la fuerza gravitatoria actúa como fuerza centrípeta, proporcionando la aceleración necesaria para mantener el movimiento circular.

Tierra (M)mFgv

Igualamos la fuerza gravitatoria (ley de Newton) a la fuerza centrípeta:

Fgrav=FcentrıˊpetaF_{grav} = F_{centrípeta}
GMmr2=mv2rG \frac{M \cdot m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}

Donde MM es la masa de la Tierra, mm la masa del satélite, rr la distancia del centro de la Tierra al satélite, GG la constante de gravitación universal y vv la velocidad orbital. Simplificando la masa del satélite mm en ambos miembros:

GMr2=v2rG \frac{M}{r^2} = \frac{v^2}{r}
v2=GMrv^2 = \frac{G \cdot M}{r}
vorbital=GMr\boxed{v_{orbital} = \sqrt{\frac{G \cdot M}{r}}}

Esta expresión muestra que la velocidad orbital depende únicamente de la masa de la Tierra MM y de la distancia rr al centro de la Tierra. No depende en absoluto de la masa del satélite mm, ya que esta se cancela al igualar las dos fuerzas.

Comparación de velocidades orbitales

Dado que la velocidad orbital v=GMrv = \sqrt{\dfrac{GM}{r}} es independiente de la masa del satélite, un satélite de 2000 kg2000 \text{ kg} y otro de 1000 kg1000 \text{ kg} que orbiten a la misma distancia rr del centro de la Tierra tendrán exactamente la misma velocidad orbital. La masa del satélite no influye en su velocidad orbital porque, al aplicar la segunda ley de Newton, la masa se cancela en ambos lados de la ecuación.En definitiva, ambos satélites tienen la misma velocidad orbital si orbitan a la misma altura. Si orbitaran a distancias diferentes, el más cercano a la Tierra (menor rr) tendría mayor velocidad orbital, independientemente de su masa.