T3: Vibraciones y ondas · Ecuación de onda — FISICA PEvAU Andaluc%C3%ADa 2018

Ecuación de onda

Problema

2018 · Ordinaria · Reserva

3B-b

b) Determine la ecuación de una onda armónica que se propaga en sentido positivo del eje

X

con velocidad de

600 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}

, frecuencia

200\text{ Hz}

y amplitud

0,03\text{ m}

, sabiendo que en el instante inicial la elongación del punto

x = 0\text{ m}

y = 0\text{ m}

. Calcule la velocidad de vibración de dicho punto en el instante

t = 0\text{ s}

ecuación armónicavelocidad de vibraciónamplitud

b) Ecuación de la onda y velocidad de vibración en

x=0

t=0

Datos del problema

Velocidad de propagación: $v = 600 \ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ , frecuencia: $f = 200 \ \text{Hz}$ , amplitud: $A = 0{,}03 \ \text{m}$ , condición inicial: $y(0,0) = 0 \ \text{m}$ .

Cálculo de magnitudes características

Longitud de onda:

\lambda = \frac{v}{f} = \frac{600}{200} = 3 \ \text{m}

Número de onda:

k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{3} \ \text{rad}\cdot\text{m}^{-1}

Frecuencia angular:

\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 200 = 400\pi \ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}

Determinación de la fase inicial

La forma general de una onda que se propaga en el sentido positivo de $X$ es:

y(x,t) = A \sin(\omega t - kx + \varphi_0)

Aplicando la condición inicial $y(0,0) = 0 \ \text{m}$ :

0 = 0{,}03 \cdot \sin(\varphi_0) \implies \sin(\varphi_0) = 0 \implies \varphi_0 = 0

Se toma $\varphi_0 = 0$ (la onda parte del equilibrio y se propaga hacia valores positivos).

Ecuación de la onda

\boxed{y(x,t) = 0{,}03 \cdot \sin\!\left(400\pi\, t - \frac{2\pi}{3}\, x\right) \ \text{m}}

Velocidad de vibración del punto $x = 0$ en $t = 0$

La velocidad de vibración (velocidad de la partícula) se obtiene derivando la elongación respecto al tiempo:

v_{\text{vib}}(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = A\omega \cos(\omega t - kx + \varphi_0)

Evaluando en $x = 0 \ \text{m}$ y $t = 0 \ \text{s}$ :

v_{\text{vib}}(0,0) = A\omega \cos(0) = 0{,}03 \cdot 400\pi \cdot 1

\boxed{v_{\text{vib}}(0,0) = 12\pi \approx 37{,}7 \ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}}