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T2: Interacción electromagnética
Campo magnético
Problema
2018 · Ordinaria · Titular
2B-b
Examen

Un conductor rectilíneo transporta una corriente de 10 A10 \text{ A} en el sentido positivo del eje Z.

b) Un protón situado a 50 cm50 \text{ cm} del conductor se dirige perpendicularmente hacia el conductor con una velocidad de 2⋅105 m s−12 \cdot 10^5 \text{ m s}^{-1}. Realice una representación gráfica indicando todas las magnitudes vectoriales implicadas y determine el módulo, dirección y sentido de la fuerza que actúa sobre el protón.

Datos: μ0=4π⋅10−7 T m A−1\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7} \text{ T m A}^{-1}; e=1,6⋅10−19 Ce = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}

Campo creado por conductor rectilíneoFuerza de Lorentz
b) Fuerza sobre el protón

El conductor lleva corriente en el sentido +Z+Z. El campo magnético que crea a una distancia r=0,50r = 0{,}50 m se obtiene con la ley de Ampère. Situamos al protón en el eje +X+X (a 50 cm del conductor); el protón se mueve en la dirección −X-X (hacia el conductor).

1. Campo magnético del conductor en la posición del protón

Por la regla de la mano derecha, con la corriente en +Z+Z y el protón situado en +X+X, el campo magnético en ese punto apunta en la dirección +Y+Y.Fórmula del campo magnético de un conductor rectilíneo infinito:

B=μ0 I2πrB = \frac{\mu_0 \, I}{2\pi r}

Sustituyendo los valores:

B=4π×10−7×102π×0,50=4π×10−6π=4×10−6 TB = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 10}{2\pi \times 0{,}50} = \frac{4\pi \times 10^{-6}}{\pi} = 4 \times 10^{-6} \text{ T}

En notación vectorial: B⃗=4×10−6 j^\vec{B} = 4 \times 10^{-6} \, \hat{j} T (dirección +Y+Y).

2. Representación gráfica
B (saliente)⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙+vF

El campo B⃗\vec{B} apunta en +Y+Y (hacia arriba en el plano XY), la velocidad del protón v⃗\vec{v} va en −X-X (hacia el conductor, a la izquierda) y la carga es positiva (+e+e).

3. Fuerza de Lorentz sobre el protón

La fuerza magnética sobre el protón se calcula con:

F⃗=q v⃗×B⃗\vec{F} = q\,\vec{v} \times \vec{B}

Con v⃗=−v i^=−2×105 i^\vec{v} = -v\,\hat{i} = -2\times10^5\,\hat{i} m/s y B⃗=B j^=4×10−6 j^\vec{B} = B\,\hat{j} = 4\times10^{-6}\,\hat{j} T:

v⃗×B⃗=(−v i^)×(B j^)=−vB (i^×j^)=−vB k^\vec{v} \times \vec{B} = (-v\,\hat{i}) \times (B\,\hat{j}) = -vB\,(\hat{i}\times\hat{j}) = -vB\,\hat{k}

Por tanto:

F⃗=q(−vB k^)=− e v B k^\vec{F} = q(-vB\,\hat{k}) = -\,e\,v\,B\,\hat{k}

Calculando el módulo:

F=e v B=1,6×10−19×2×105×4×10−6F = e\,v\,B = 1{,}6\times10^{-19} \times 2\times10^{5} \times 4\times10^{-6}
F=1,6×2×4×10−19+5−6=12,8×10−20=1,28×10−19 NF = 1{,}6 \times 2 \times 4 \times 10^{-19+5-6} = 12{,}8 \times 10^{-20} = 1{,}28 \times 10^{-19} \text{ N}
4. Resultado

La fuerza sobre el protón es:

F⃗=−1,28×10−19 k^ N\vec{F} = -1{,}28 \times 10^{-19}\,\hat{k} \text{ N}
Módulo: F=1,28×10−19F = 1{,}28 \times 10^{-19} NDirección: eje ZZSentido: −Z-Z (sentido negativo del eje Z, opuesto a la corriente)