Se hace un estudio sobre el café que se consume en la cafetería de una estación. Según el tipo de taza tenemos tres opciones: expreso, medio y americano; con porcentajes, respectivamente, de , y . Por otra parte, también sabemos que el café puede ser de la variedad que tiene cafeína o ser descafeinado. En concreto, las tazas de café con cafeína presentan, para cada uno de los tipos de taza establecidos antes, los porcentajes , y , respectivamente.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona adquiera un café expreso descafeinado?b) Si sabemos que el café es descafeinado, ¿cuál es la probabilidad de que sea un expreso?Definimos los sucesos según el tipo de café:: Café expreso. : Café medio. : Café americano.Y según el contenido de cafeína:: Café con cafeína. : Café descafeinado.A partir del enunciado, extraemos las probabilidades de los tipos de café:
El enunciado también nos da las probabilidades conjuntas de ser de un tipo y tener cafeína (probabilidades totales sobre el conjunto de todos los cafés):
Se nos pide la probabilidad del suceso intersección . Sabemos que un café expreso puede ser con cafeína () o descafeinado (), por lo que:
Sustituyendo los valores conocidos:
Por tanto, la probabilidad de que el café sea expreso y descafeinado es .
b) Si sabemos que el café es descafeinado, ¿cuál es la probabilidad de que sea un expreso?Se trata de una probabilidad condicionada: . Para calcularla, primero necesitamos la probabilidad total de que un café sea descafeinado, .Calculamos las intersecciones restantes de forma análoga al apartado anterior:
La probabilidad total de café descafeinado es la suma de las probabilidades de ser descafeinado para cada tipo:
Ahora aplicamos la definición de probabilidad condicionada:
La probabilidad de que sea un expreso sabiendo que es descafeinado es .