b) Campo gravitatorio creado por dos esferas en un punto.
X Y m m₁ (0,−3) m m₂ (0,3) P (4,0) g1 g2 g_neta
El campo gravitatorio creado por una masa puntual m m m en un punto a distancia r r r es:
g ⃗ = − G ⋅ m r 2 r ^ \vec{g} = -\frac{G \cdot m}{r^2}\hat{r} g = − r 2 G ⋅ m r ^ donde r ^ \hat{r} r ^ es el vector unitario que apunta desde la masa hacia el punto de interés.
Campo creado por m₁ en (0, −3) m:
El vector que va desde m 1 = ( 0 , − 3 ) m_1 = (0, -3) m 1 = ( 0 , − 3 ) hasta P = ( 4 , 0 ) P = (4, 0) P = ( 4 , 0 ) es:
r ⃗ 1 = ( 4 − 0 ) i ^ + ( 0 − ( − 3 ) ) j ^ = 4 i ^ + 3 j ^ \vec{r}_1 = (4-0)\,\hat{i} + (0-(-3))\,\hat{j} = 4\,\hat{i} + 3\,\hat{j} r 1 = ( 4 − 0 ) i ^ + ( 0 − ( − 3 )) j ^ = 4 i ^ + 3 j ^ El módulo de este vector es:
r 1 = 4 2 + 3 2 = 16 + 9 = 25 = 5 m r_1 = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ m} r 1 = 4 2 + 3 2 = 16 + 9 = 25 = 5 m El vector unitario es:
r ^ 1 = 4 i ^ + 3 j ^ 5 = 0,8 i ^ + 0,6 j ^ \hat{r}_1 = \frac{4\,\hat{i} + 3\,\hat{j}}{5} = 0{,}8\,\hat{i} + 0{,}6\,\hat{j} r ^ 1 = 5 4 i ^ + 3 j ^ = 0 , 8 i ^ + 0 , 6 j ^ El módulo del campo gravitatorio creado por m 1 m_1 m 1 en P:
g 1 = G ⋅ m r 1 2 = 6,67 × 10 − 11 × 100 5 2 = 6,67 × 10 − 9 25 = 2,668 × 10 − 10 N⋅kg − 1 g_1 = \frac{G \cdot m}{r_1^2} = \frac{6{,}67 \times 10^{-11} \times 100}{5^2} = \frac{6{,}67 \times 10^{-9}}{25} = 2{,}668 \times 10^{-10} \text{ N·kg}^{-1} g 1 = r 1 2 G ⋅ m = 5 2 6 , 67 × 1 0 − 11 × 100 = 25 6 , 67 × 1 0 − 9 = 2 , 668 × 1 0 − 10 N⋅kg − 1 El campo vectorial de m 1 m_1 m 1 en P (dirigido hacia m 1 m_1 m 1 , es decir, en sentido − r ^ 1 -\hat{r}_1 − r ^ 1 ):
g ⃗ 1 = − g 1 r ^ 1 = − 2,668 × 10 − 10 ( 0,8 i ^ + 0,6 j ^ ) \vec{g}_1 = -g_1\,\hat{r}_1 = -2{,}668 \times 10^{-10}\,(0{,}8\,\hat{i} + 0{,}6\,\hat{j}) g 1 = − g 1 r ^ 1 = − 2 , 668 × 1 0 − 10 ( 0 , 8 i ^ + 0 , 6 j ^ ) g ⃗ 1 = ( − 2,134 × 10 − 10 i ^ − 1,601 × 10 − 10 j ^ ) N⋅kg − 1 \vec{g}_1 = (-2{,}134 \times 10^{-10}\,\hat{i} - 1{,}601 \times 10^{-10}\,\hat{j}) \text{ N·kg}^{-1} g 1 = ( − 2 , 134 × 1 0 − 10 i ^ − 1 , 601 × 1 0 − 10 j ^ ) N⋅kg − 1 Campo creado por m₂ en (0, 3) m:
El vector que va desde m 2 = ( 0 , 3 ) m_2 = (0, 3) m 2 = ( 0 , 3 ) hasta P = ( 4 , 0 ) P = (4, 0) P = ( 4 , 0 ) es:
r ⃗ 2 = ( 4 − 0 ) i ^ + ( 0 − 3 ) j ^ = 4 i ^ − 3 j ^ \vec{r}_2 = (4-0)\,\hat{i} + (0-3)\,\hat{j} = 4\,\hat{i} - 3\,\hat{j} r 2 = ( 4 − 0 ) i ^ + ( 0 − 3 ) j ^ = 4 i ^ − 3 j ^ El módulo de este vector es:
r 2 = 4 2 + ( − 3 ) 2 = 25 = 5 m r_2 = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{25} = 5 \text{ m} r 2 = 4 2 + ( − 3 ) 2 = 25 = 5 m El vector unitario es:
r ^ 2 = 4 i ^ − 3 j ^ 5 = 0,8 i ^ − 0,6 j ^ \hat{r}_2 = \frac{4\,\hat{i} - 3\,\hat{j}}{5} = 0{,}8\,\hat{i} - 0{,}6\,\hat{j} r ^ 2 = 5 4 i ^ − 3 j ^ = 0 , 8 i ^ − 0 , 6 j ^ El módulo del campo gravitatorio creado por m 2 m_2 m 2 en P (igual que g 1 g_1 g 1 por simetría):
g 2 = G ⋅ m r 2 2 = 6,67 × 10 − 11 × 100 25 = 2,668 × 10 − 10 N⋅kg − 1 g_2 = \frac{G \cdot m}{r_2^2} = \frac{6{,}67 \times 10^{-11} \times 100}{25} = 2{,}668 \times 10^{-10} \text{ N·kg}^{-1} g 2 = r 2 2 G ⋅ m = 25 6 , 67 × 1 0 − 11 × 100 = 2 , 668 × 1 0 − 10 N⋅kg − 1 El campo vectorial de m 2 m_2 m 2 en P (dirigido hacia m 2 m_2 m 2 , sentido − r ^ 2 -\hat{r}_2 − r ^ 2 ):
g ⃗ 2 = − g 2 r ^ 2 = − 2,668 × 10 − 10 ( 0,8 i ^ − 0,6 j ^ ) \vec{g}_2 = -g_2\,\hat{r}_2 = -2{,}668 \times 10^{-10}\,(0{,}8\,\hat{i} - 0{,}6\,\hat{j}) g 2 = − g 2 r ^ 2 = − 2 , 668 × 1 0 − 10 ( 0 , 8 i ^ − 0 , 6 j ^ ) g ⃗ 2 = ( − 2,134 × 10 − 10 i ^ + 1,601 × 10 − 10 j ^ ) N⋅kg − 1 \vec{g}_2 = (-2{,}134 \times 10^{-10}\,\hat{i} + 1{,}601 \times 10^{-10}\,\hat{j}) \text{ N·kg}^{-1} g 2 = ( − 2 , 134 × 1 0 − 10 i ^ + 1 , 601 × 1 0 − 10 j ^ ) N⋅kg − 1 Campo gravitatorio total en P:
Aplicando el principio de superposición:
g ⃗ t o t a l = g ⃗ 1 + g ⃗ 2 \vec{g}_{total} = \vec{g}_1 + \vec{g}_2 g t o t a l = g 1 + g 2 g ⃗ t o t a l = [ ( − 2,134 − 2,134 ) × 10 − 10 i ^ + ( − 1,601 + 1,601 ) × 10 − 10 j ^ ] N⋅kg − 1 \vec{g}_{total} = \left[(-2{,}134 - 2{,}134) \times 10^{-10}\,\hat{i} + (-1{,}601 + 1{,}601) \times 10^{-10}\,\hat{j}\right] \text{ N·kg}^{-1} g t o t a l = [ ( − 2 , 134 − 2 , 134 ) × 1 0 − 10 i ^ + ( − 1 , 601 + 1 , 601 ) × 1 0 − 10 j ^ ] N⋅kg − 1 g ⃗ t o t a l = − 4,268 × 10 − 10 i ^ N⋅kg − 1 \vec{g}_{total} = -4{,}268 \times 10^{-10}\,\hat{i} \text{ N·kg}^{-1} g t o t a l = − 4 , 268 × 1 0 − 10 i ^ N⋅kg − 1 Por simetría, las componentes j ^ \hat{j} j ^ se cancelan. El campo resultante apunta en la dirección − i ^ -\hat{i} − i ^ (hacia el eje Y, donde están las masas), con módulo:
∣ g ⃗ t o t a l ∣ = 4,27 × 10 − 10 N⋅kg − 1 |\vec{g}_{total}| = 4{,}27 \times 10^{-10} \text{ N·kg}^{-1} ∣ g t o t a l ∣ = 4 , 27 × 1 0 − 10 N⋅kg − 1 
