T1: Interacción gravitatoria

Peso y velocidad de escape

Problema

2026 · Extraordinaria · Titular

A-b2

b2) Marte es un planeta más pequeño y menos masivo que la Tierra con un radio aproximado de

0,532

veces el radio terrestre y una masa de

0,107

veces la masa de la Tierra. Determine: i) el peso en la superficie de Marte de un objeto que en la Tierra pesa

400 \text{ N}

; ii) la velocidad de escape desde la superficie de Marte.

Datos:

g = 9,8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}$; $R_T = 6370 \text{ km}

PesoGravedadVelocidad de escape+1

i) Determinación del peso en la superficie de Marte de un objeto que en la Tierra pesa

400 \text{ N}

El peso de un objeto sobre la superficie de un planeta está dado por la expresión $P = m \cdot g$ , donde $m$ es la masa del objeto y $g$ es la aceleración de la gravedad en la superficie del planeta. La aceleración de la gravedad en la superficie de un planeta de masa $M$ y radio $R$ es $g = G \frac{M}{R^2}$ .Primero, calculamos la aceleración de la gravedad en la superficie de Marte ( $g_M$ ) en función de la aceleración de la gravedad en la Tierra ( $g_T$ ).

g_T = G \frac{M_T}{R_T^2}

g_M = G \frac{M_M}{R_M^2}

Sustituyendo los datos proporcionados ( $M_M = 0,107 M_T$ y $R_M = 0,532 R_T$ ):

g_M = G \frac{0,107 M_T}{(0,532 R_T)^2} = \frac{0,107}{(0,532)^2} G \frac{M_T}{R_T^2} = \frac{0,107}{0,283024} g_T

g_M = 0,37805 \cdot g_T

Con $g_T = 9,8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}$ :

g_M = 0,37805 \cdot 9,8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2} \approx 3,705 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}

La masa del objeto se obtiene de su peso en la Tierra:

P_T = m \cdot g_T \Rightarrow m = \frac{P_T}{g_T}

m = \frac{400 \text{ N}}{9,8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}} \approx 40,816 \text{ kg}

Finalmente, el peso del objeto en la superficie de Marte es:

P_M = m \cdot g_M

P_M = 40,816 \text{ kg} \cdot 3,705 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2} \approx 151,2 \text{ N}

ii) Determinación de la velocidad de escape desde la superficie de Marte.

La velocidad de escape desde la superficie de un planeta se calcula con la expresión:

v_{esc} = \sqrt{\frac{2 G M}{R}}

Esta expresión también puede formularse en términos de la aceleración de la gravedad en la superficie del planeta ( $g = G M / R^2$ ):

v_{esc} = \sqrt{2 g R}

Primero calculamos el radio de Marte ( $R_M$ ):

R_M = 0,532 \cdot R_T = 0,532 \cdot 6370 \times 10^3 \text{ m} = 3,38884 \times 10^6 \text{ m}

Usando el valor de $g_M$ calculado en el apartado anterior y $R_M$ :

v_{esc} = \sqrt{2 \cdot (3,705 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}) \cdot (3,38884 \times 10^6 \text{ m})}

v_{esc} = \sqrt{25118749,92 \text{ m}^2 \cdot \text{s}^{-2}}

v_{esc} \approx 5011,86 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}

Expresado en kilómetros por segundo:

v_{esc} \approx 5,012 \text{ km} \cdot \text{s}^{-1}