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T6: Física nuclear
Leyes de la desintegración radiactiva
Problema
2019 · Ordinaria · Titular
4A-b
Examen
b) Los periodos de semidesintegración del X83210X2832210Bi\ce{^{210}_{83}Bi} y X86222X2862222Rn\ce{^{222}_{86}Rn} son de 55 y 3,8 dıˊas3,8 \text{ días} respectivamente. Disponemos de una muestra de 3 mg3 \text{ mg} del X83210X2832210Bi\ce{^{210}_{83}Bi} y otra de 10 mg10 \text{ mg} de X86222X2862222Rn\ce{^{222}_{86}Rn}. Determine en cuál de ellos quedará más masa por desintegrarse pasados 15,2 dıˊas15,2 \text{ días}.
Periodo de semidesintegraciónMasa remanenteLey de decaimiento
b) Para determinar en cuál de los isótopos quedará más masa por desintegrarse pasados 15,2 dıˊas15,2 \text{ días}, debemos calcular la masa que permanece sin desintegrar para cada uno y luego restar esta masa de la masa inicial. La fórmula para la desintegración radiactiva es:
m=m0(12)t/T1/2m = m_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T_{1/2}}

Donde mm es la masa restante, m0m_0 es la masa inicial, tt es el tiempo transcurrido y T1/2T_{1/2} es el periodo de semidesintegración.Para el X83210X2832210Bi\ce{^{210}_{83}Bi}:

m0,Bi=3 mgT1/2,Bi=5 dıˊast=15,2 dıˊasmBi=3 mg(12)15,2 dıˊas/5 dıˊas=3 mg(12)3,04mBi≈3 mg×0,1215=0,3645 mgm_{0,Bi} = 3 \text{ mg} \\ T_{1/2,Bi} = 5 \text{ días} \\ t = 15,2 \text{ días} \\ m_{Bi} = 3 \text{ mg} \left( \frac{1}{2} \right)^{15,2 \text{ días} / 5 \text{ días}} = 3 \text{ mg} \left( \frac{1}{2} \right)^{3,04} \\ m_{Bi} \approx 3 \text{ mg} \times 0,1215 = 0,3645 \text{ mg}

La masa desintegrada de X83210X2832210Bi\ce{^{210}_{83}Bi} es:

mdesintegrada,Bi=m0,Bi−mBi=3 mg−0,3645 mg=2,6355 mgm_{desintegrada,Bi} = m_{0,Bi} - m_{Bi} = 3 \text{ mg} - 0,3645 \text{ mg} = 2,6355 \text{ mg}

Para el X86222X2862222Rn\ce{^{222}_{86}Rn}:

m0,Rn=10 mgT1/2,Rn=3,8 dıˊast=15,2 dıˊasmRn=10 mg(12)15,2 dıˊas/3,8 dıˊas=10 mg(12)4mRn=10 mg×116=0,625 mgm_{0,Rn} = 10 \text{ mg} \\ T_{1/2,Rn} = 3,8 \text{ días} \\ t = 15,2 \text{ días} \\ m_{Rn} = 10 \text{ mg} \left( \frac{1}{2} \right)^{15,2 \text{ días} / 3,8 \text{ días}} = 10 \text{ mg} \left( \frac{1}{2} \right)^{4} \\ m_{Rn} = 10 \text{ mg} \times \frac{1}{16} = 0,625 \text{ mg}

La masa desintegrada de X86222X2862222Rn\ce{^{222}_{86}Rn} es:

mdesintegrada,Rn=m0,Rn−mRn=10 mg−0,625 mg=9,375 mgm_{desintegrada,Rn} = m_{0,Rn} - m_{Rn} = 10 \text{ mg} - 0,625 \text{ mg} = 9,375 \text{ mg}

Comparando las masas desintegradas:

mdesintegrada,Bi=2,6355 mgmdesintegrada,Rn=9,375 mgm_{desintegrada,Bi} = 2,6355 \text{ mg} \\ m_{desintegrada,Rn} = 9,375 \text{ mg}

Por lo tanto, en la muestra de X86222X2862222Rn\ce{^{222}_{86}Rn} quedará más masa por desintegrarse (es decir, una mayor cantidad de masa se habrá desintegrado).