T3: Vibraciones y ondas · Ondas armónicas — FISICA PEvAU Andaluc%25C3%25ADa 2021

Ondas armónicas

Problema

2021 · Ordinaria · Suplente

C.2-b

b) Por una cuerda tensa se propaga en el sentido positivo del eje x una onda armónica transversal de

0,05 \text{ m}

de amplitud,

2 \text{ Hz}

de frecuencia y con una velocidad de propagación

0,5 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}

. i) Determine la ecuación de la onda, sabiendo que para

t = 0 \text{ s}

el punto

x = 0 \text{ m}

se encuentra en la posición más alta de su oscilación. ii) Calcule la expresión de la velocidad de oscilación de un punto del medio y su valor máximo.

Ecuación de ondaVelocidad de vibraciónCuerda

b) i) Determine la ecuación de la onda, sabiendo que para

t = 0 \text{ s}

el punto

x = 0 \text{ m}

se encuentra en la posición más alta de su oscilación.

La forma general de una onda armónica transversal que se propaga en el sentido positivo del eje x es:

y(x,t) = A \sin(kx - \omega t + \phi_0)

O bien, si la fase inicial se ajusta, $y(x,t) = A \cos(kx - \omega t)$ , que es útil cuando la condición inicial es que en $t=0, x=0$ la partícula está en su máxima elongación positiva.Datos proporcionados:- Amplitud: $A = 0,05 \text{ m}$ - Frecuencia: $f = 2 \text{ Hz}$ - Velocidad de propagación: $v = 0,5 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}$ Calculamos la frecuencia angular $\omega$ :

\omega = 2 \pi f

\omega = 2 \pi (2 \text{ Hz}) = 4\pi \text{ rad} \cdot \text{s}^{-1}

Calculamos la longitud de onda $\lambda$ :

v = \lambda f \implies \lambda = \frac{v}{f}

\lambda = \frac{0,5 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}}{2 \text{ Hz}} = 0,25 \text{ m}

Calculamos el número de onda $k$ :

k = \frac{2 \pi}{\lambda}

k = \frac{2 \pi}{0,25 \text{ m}} = 8\pi \text{ rad} \cdot \text{m}^{-1}

La condición inicial es que para $t = 0 \text{ s}$ el punto $x = 0 \text{ m}$ se encuentra en la posición más alta de su oscilación ( $y(0,0) = A$ ). Si usamos la forma $y(x,t) = A \cos(kx - \omega t)$ , esta condición se cumple automáticamente con $\phi_0 = 0$ , ya que $\cos(0) = 1$ . Entonces, la ecuación de la onda es:

y(x,t) = A \cos(kx - \omega t)

Sustituyendo los valores calculados:

y(x,t) = 0,05 \cos(8\pi x - 4\pi t) \text{ m}

ii) Calcule la expresión de la velocidad de oscilación de un punto del medio y su valor máximo.

La velocidad de oscilación de un punto del medio se obtiene derivando la ecuación de la onda respecto al tiempo $t$ :

v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} [0,05 \cos(8\pi x - 4\pi t)]

v_y(x,t) = 0,05 \cdot (-( -4\pi)) \sin(8\pi x - 4\pi t)

v_y(x,t) = 0,05 \cdot 4\pi \sin(8\pi x - 4\pi t)

v_y(x,t) = 0,2\pi \sin(8\pi x - 4\pi t) \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}

El valor máximo de la velocidad de oscilación se produce cuando $\sin(8\pi x - 4\pi t) = \pm 1$ . Por lo tanto, el valor máximo de la velocidad de oscilación es:

v_{y,max} = A\omega

v_{y,max} = 0,05 \text{ m} \cdot (4\pi \text{ rad} \cdot \text{s}^{-1})

v_{y,max} = 0,2\pi \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}

v_{y,max} \approx 0,628 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}