T5: Probabilidad · Probabilidad condicionada y sucesos — MATEMATICA APLICADAS A LAS CIENCIA SOCIALES II PEvAU Andaluc%25C3%25ADa 2025

Probabilidad condicionada y sucesos

Problema

2025 · Ordinaria · Reserva

Una encuesta realizada a personas que utilizan productos de cosmética arroja los siguientes datos: el $66\%$ de las personas encuestadas son mujeres y, de estas, el $71\%$ utilizan cosmética natural. Además, se sabe que el $17.86\%$ son hombres que no utilizan cosmética natural. Se selecciona una de estas personas al azar.

a) Calcule la probabilidad de que sea mujer o use cosmética natural.b) Calcule la probabilidad de que sea hombre y utilice cosmética natural.c) Sabiendo que no usa cosmética natural, calcule la probabilidad de que sea hombre.d) ¿Son sucesos incompatibles "utilizar cosmética natural" y "ser mujer"? ¿Son independientes?

Teorema de BayesProbabilidad totalSucesos independientes

Definimos los siguientes sucesos: $M$ : la persona es mujer. $H$ : la persona es hombre. $N$ : la persona utiliza cosmética natural. $N'$ : la persona no utiliza cosmética natural.A partir de los datos proporcionados, tenemos las siguientes probabilidades:

P(M) = 0.66 \implies P(H) = 1 - P(M) = 1 - 0.66 = 0.34

P(N|M) = 0.71

P(H \cap N') = 0.1786

Calculamos otras probabilidades necesarias:

P(M \cap N) = P(N|M) \cdot P(M) = 0.71 \cdot 0.66 = 0.4686

P(M \cap N') = P(M) - P(M \cap N) = 0.66 - 0.4686 = 0.1914

P(H \cap N) = P(H) - P(H \cap N') = 0.34 - 0.1786 = 0.1614

P(N) = P(M \cap N) + P(H \cap N) = 0.4686 + 0.1614 = 0.63

P(N') = P(M \cap N') + P(H \cap N') = 0.1914 + 0.1786 = 0.37

a) Calcule la probabilidad de que sea mujer o use cosmética natural.

Nos piden $P(M \cup N)$ . Usamos la fórmula de la probabilidad de la unión:

P(M \cup N) = P(M) + P(N) - P(M \cap N)

P(M \cup N) = 0.66 + 0.63 - 0.4686 = 1.29 - 0.4686 = 0.8214

b) Calcule la probabilidad de que sea hombre y utilice cosmética natural.

Nos piden $P(H \cap N)$ . Esta probabilidad ya ha sido calculada previamente:

P(H \cap N) = 0.1614

c) Sabiendo que no usa cosmética natural, calcule la probabilidad de que sea hombre.

Nos piden $P(H|N')$ . Usamos la fórmula de la probabilidad condicionada:

P(H|N') = \frac{P(H \cap N')}{P(N')}

P(H|N') = \frac{0.1786}{0.37} \approx 0.4827

d) ¿Son sucesos incompatibles "utilizar cosmética natural" y "ser mujer"? ¿Son independientes?

Para que los sucesos "utilizar cosmética natural" ( $N$ ) y "ser mujer" ( $M$ ) sean incompatibles, su intersección debe ser 0.

P(M \cap N) = 0.4686

Dado que $P(M \cap N) = 0.4686 \neq 0$ , los sucesos $M$ y $N$ no son incompatibles.Para que los sucesos $M$ y $N$ sean independientes, debe cumplirse que $P(M \cap N) = P(M) \cdot P(N)$ .

P(M \cap N) = 0.4686

P(M) \cdot P(N) = 0.66 \cdot 0.63 = 0.4158

Dado que $0.4686 \neq 0.4158$ , los sucesos $M$ y $N$ no son independientes.