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T4: Óptica
Espectro electromagnético y refracción
Problema
2017 · Ordinaria · Suplente
3B-b
Examen
b) La tecnología ultravioleta para la desinfección de agua, aire y superficies está basada en el efecto germicida de la radiación UV-C. El espectro del UV-C en el aire está comprendido entre 200 nm200 \text{ nm} y 280 nm280 \text{ nm}. Calcule las frecuencias entre las que está comprendida dicha zona del espectro electromagnético y determine entre qué longitudes de onda estará comprendido el UV-C en el agua.

Datos: c=3⋅108 m⋅s−1c = 3 \cdot 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}; naire=1n_{\text{aire}} = 1; nagua=1,33n_{\text{agua}} = 1,33

UV-Cfrecuencialongitud de onda+1
b) Cálculo de las frecuencias del UV-C en el aire y longitudes de onda en el agua.
Frecuencias del UV-C en el aire

La relación entre la velocidad de la luz, la frecuencia y la longitud de onda en el vacío (o en el aire, con naire=1n_{aire}=1) es:

c=λ⋅f⇒f=cλc = \lambda \cdot f \Rightarrow f = \frac{c}{\lambda}

Para λmax=280 nm=280⋅10−9 m\lambda_{max} = 280 \text{ nm} = 280 \cdot 10^{-9} \text{ m} (frecuencia mínima):

fmin=cλmax=3⋅108 m/s280⋅10−9 m=1,07⋅1015 Hzf_{min} = \frac{c}{\lambda_{max}} = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ m/s}}{280 \cdot 10^{-9} \text{ m}} = 1{,}07 \cdot 10^{15} \text{ Hz}

Para λmin=200 nm=200⋅10−9 m\lambda_{min} = 200 \text{ nm} = 200 \cdot 10^{-9} \text{ m} (frecuencia máxima):

fmax=cλmin=3⋅108 m/s200⋅10−9 m=1,50⋅1015 Hzf_{max} = \frac{c}{\lambda_{min}} = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ m/s}}{200 \cdot 10^{-9} \text{ m}} = 1{,}50 \cdot 10^{15} \text{ Hz}

El UV-C en el aire está comprendido entre frecuencias 1,07⋅1015 Hz1{,}07 \cdot 10^{15} \text{ Hz} y 1,50⋅1015 Hz1{,}50 \cdot 10^{15} \text{ Hz}.

Longitudes de onda del UV-C en el agua

La frecuencia no cambia al pasar de un medio a otro. Lo que cambia es la velocidad de propagación y, por tanto, la longitud de onda. La velocidad de la luz en un medio de índice de refracción nn es:

v=cnv = \frac{c}{n}

La longitud de onda en el agua se relaciona con la longitud de onda en el aire mediante:

λagua=vf=cnagua⋅f=λairenagua\lambda_{agua} = \frac{v}{f} = \frac{c}{n_{agua} \cdot f} = \frac{\lambda_{aire}}{n_{agua}}

Para λaire=200 nm\lambda_{aire} = 200 \text{ nm}:

λagua,min=200 nm1,33=150,4 nm≈150 nm\lambda_{agua,min} = \frac{200 \text{ nm}}{1{,}33} = 150{,}4 \text{ nm} \approx 150 \text{ nm}

Para λaire=280 nm\lambda_{aire} = 280 \text{ nm}:

λagua,max=280 nm1,33=210,5 nm≈211 nm\lambda_{agua,max} = \frac{280 \text{ nm}}{1{,}33} = 210{,}5 \text{ nm} \approx 211 \text{ nm}

El UV-C en el agua está comprendido entre aproximadamente 150 nm150 \text{ nm} y 211 nm211 \text{ nm}.