Primero, expresamos ambas rectas en su forma paramétrica.Recta $r \equiv x + 1 = y - a = -z$:

De donde obtenemos la ecuación paramétrica de $r$:

Un punto de la recta $r$ es $R_0(-1, a, 0)$ y su vector director es $\vec{v_r} = (1, 1, -1)$.Recta $$s \equiv \begin{cases} x = 5 + 2\lambda \\ y = -3 \\ z = 2 - \lambda \end{cases}$$ Un punto de la recta $s$ es $S_0(5, -3, 2)$ y su vector director es $\vec{v_s} = (2, 0, -1)$.Para que las rectas $r$ y $s$ se corten, debe existir un punto en común, es decir, deben coincidir sus coordenadas para ciertos valores de $\mu$ y $\lambda$:

De la ecuación (3) despejamos $\lambda$ en función de $\mu$:

Sustituimos esta expresión de $\lambda$ en la ecuación (1):

Ahora, sustituimos el valor de $\mu$ en la expresión de $\lambda$:

Finalmente, sustituimos el valor de $\mu$ en la ecuación (2) para encontrar $a$:

Para que las rectas se corten, el valor de $a$ debe ser $7$.Para encontrar el punto de corte, sustituimos $\lambda = -8$ en las ecuaciones paramétricas de la recta $s$ (también se podría usar $\mu = -10$ y $a=7$ en $r$):

El punto de corte es $Q(-11, -3, 10)$.

El plano que contiene a la recta $s$ debe contener un punto de $s$ (por ejemplo, $S_0(5, -3, 2)$) y su vector director $\vec{v_s} = (2, 0, -1)$. Además, el plano debe pasar por el punto $P(8, -7, 2)$.Podemos formar un segundo vector director del plano uniendo el punto $S_0$ con el punto $P$:

Así, el plano queda definido por el punto $S_0(5, -3, 2)$ y los vectores directores $\vec{v_s} = (2, 0, -1)$ y $\vec{S_0P} = (3, -4, 0)$. La ecuación general del plano se obtiene igualando a cero el determinante formado por un vector genérico $(x - x_0, y - y_0, z - z_0)$ y los dos vectores directores.

Multiplicando por $-1$ para obtener coeficientes positivos:

La ecuación del plano es $4x + 3y + 8z - 27 = 0$.