T1: Interacción gravitatoria · Campo gravitatorio — FISICA PEvAU Andaluc%25C3%25ADa 2018

T1: Interacción gravitatoria

Campo gravitatorio

Problema

2018 · Extraordinaria · Titular

1A-b

En la superficie de un planeta de $2000 \text{ km}$ de radio, la aceleración de la gravedad es de $3 \text{ m/s}^2$ .

b) Calcule: (i) La masa del planeta; (ii) la velocidad de escape de un cuerpo desde la superficie.

Dato: $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}$

GravedadMasa planetariaVelocidad de escape

b) (i) Masa del planeta

La aceleración de la gravedad en la superficie de un planeta de masa $M$ y radio $R$ es:

g = \frac{G \cdot M}{R^2}

Despejando la masa $M$ :

M = \frac{g \cdot R^2}{G}

Con los datos del problema: $g = 3 \text{ m/s}^2$ , $R = 2000 \text{ km} = 2 \times 10^6 \text{ m}$ , $G = 6{,}67 \times 10^{-11} \text{ N·m}^2\text{·kg}^{-2}$ :

M = \frac{3 \times (2 \times 10^6)^2}{6{,}67 \times 10^{-11}} = \frac{3 \times 4 \times 10^{12}}{6{,}67 \times 10^{-11}} = \frac{1{,}2 \times 10^{13}}{6{,}67 \times 10^{-11}}

M \approx 1{,}80 \times 10^{23} \text{ kg}

b) (ii) Velocidad de escape

La velocidad de escape es la velocidad mínima necesaria para que un cuerpo abandone el campo gravitatorio del planeta sin propulsión adicional. Se obtiene igualando la energía cinética con la energía potencial gravitatoria:

\frac{1}{2}m v_e^2 = \frac{G \cdot M \cdot m}{R} \implies v_e = \sqrt{\frac{2 G M}{R}}

También se puede expresar usando $g = \frac{GM}{R^2}$ , de modo que $GM = g \cdot R^2$ :

v_e = \sqrt{\frac{2 g R^2}{R}} = \sqrt{2 g R}

Sustituyendo los valores:

v_e = \sqrt{2 \times 3 \times 2 \times 10^6} = \sqrt{1{,}2 \times 10^7}

v_e \approx 3464 \text{ m/s} \approx 3{,}46 \times 10^3 \text{ m/s}