Asíntotas verticales:Las asíntotas verticales se encuentran en los puntos donde el denominador de la función se anula y la función tiende a infinito. En este caso, el denominador es $e^{2x} + 1$.

Dado que $e^{2x} > 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$, la ecuación $e^{2x} = -1$ no tiene solución real. Por lo tanto, no existen asíntotas verticales.Asíntotas horizontales:Se calculan los límites de la función cuando $x \to \infty$ y cuando $x \to -\infty$.

Dividimos el numerador y el denominador por $e^{2x}$:

Como $e^{-2x} \to 0$ cuando $x \to \infty$:

Así, $y = 1$ es una asíntota horizontal cuando $x \to \infty$.

Como $e^{2x} \to 0$ cuando $x \to -\infty$:

Así, $y = -1$ es una asíntota horizontal cuando $x \to -\infty$.

Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, calculamos la primera derivada de $f(x)$.

Sacamos factor común $2e^{2x}$ en el numerador:

Para analizar el signo de $f'(x)$:El numerador $4e^{2x}$ siempre es positivo para todo $x \in \mathbb{R}$.El denominador $(e^{2x} + 1)^2$ también siempre es positivo para todo $x \in \mathbb{R}$ (es un término al cuadrado y la base $e^{2x} + 1$ es siempre positiva).Por lo tanto, $f'(x) > 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$.Esto significa que la función $f(x)$ es estrictamente creciente en todo su dominio.Intervalos de crecimiento: $(-\infty, \infty)$.Intervalos de decrecimiento: No tiene.